Question

为了研究过山车的原理，物理小组提出了下面的设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为L=2.0m的粗糙的倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的．其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图所示．一个物块以初速度v₀=4.0m/s，从某一高处水平抛出，到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下．已知物块与倾斜轨道间的动摩擦因数μ=0.50．（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）要使小物块不离开轨道，并从水平轨道DE滑出，求竖直圆轨道的半径应该满足什么条件？
（2）为了让小物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道AB，则竖直圆轨道的半径应该满足什么条件？
（3）若按照（2）的要求，小物块进入轨道后可以有多少次通过圆轨道上距水平轨道高为0．O1m的某一点？

Answer 1

分析：（1）通过平抛运动的规律求出小物块到达A处时下落的高度，根据牛顿第二定律求出小物块在最高点的最小速度，通过全过程运用动能定理求出竖直圆轨道的半径应该满足的条件．
（2）为了让物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道AB，则物块上升的高度须小于或等于R₀′，则根据动能定理求出竖直轨道的半径应该满足的条件．
（3）根据动能定理求出再次进入圆轨道到达的高度和第一次冲上圆轨道的高度关系，得出上升n次后高度的通项式，从而得出小物块进入轨道后可以有多少次通过圆轨道上距水平轨道高为0．O1m的某一点．

解答：解：（1）物体做平抛运动，到达A处时，令下落的高度为h，水平分速度为v_x，竖直分速度为v_y，则由平抛运动的规律可知：
tan37°=

vy

vx

，v_x=v₀，vy2=2gh
物体落在斜面上后，受到斜面的摩擦力f=μN=μmgcos37°．
设物块进入圆轨道到最高点时有最小速度v₁，此时物块受到的重力恰好提供向心力了，令轨道的轨道半径为R₀．由牛顿第二定律知，
mg=m

v12

R0

物块从抛出到圆轨道最高点的过程中，由动能定理知：mg（h+Lsin37°）-μmgcos37°?L-2mgR0=

1

2

mv12-

1

2

mv02
联立上面各式解得R₀=0.66m．
若物块从水平轨道DE滑出，则竖直圆轨道的半径R₁≤0.66m．
（2）为了让物块不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道AB，则物块上升的高度须小于或等于R₀′，则根据动能定理得，
mg(h+Lsin37°)-μmgcos37°?L-mgR0′=0-

1

2

mv02
解得R₀′=1.65m．
若物块能够滑回倾斜轨道AB，则R₂≥1.65m．
（3）若物块冲上圆轨道H₁=1.65m高度时速度变为0，然后又返回倾斜轨道h₁高处再滑下，然后再次进入圆轨道达到的高度为H₂，则有：
mgH1=mgh1+μmgh1?

4

3

mgH2=mgh1-μmgh1?

4

3

解得H2=

1- 4 3 μ

4

H1=

1

5

H1．
之后物块在竖直圆轨道和倾斜轨道之间往复运动，同理，n次上升的高度Hn=(

1

5

)n-1H1（n＞0）为一等比数列．
可见当n=5时，上升的最大高度小于0.01m，则物块共有8次通过圆轨道上距水平轨道高为0.01m的某一点．
答：（1）竖直圆轨道的半径应该满足R₁≤0.66m．
（2）竖直圆轨道的半径应该满足R₂≥1.65m．
（3）小物块进入轨道后可以有8次通过圆轨道上距水平轨道高为0．O1m的某一点．

点评：本题综合考查了动能定理和牛顿第二定律，涉及到平抛运动，直线运动和圆周运动，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强这方面的训练．