Question

20．在公交车行驶中，司机能从车旁边的后视镜内看清离车头L=20米范围内的物体，若该客车由静止开始以a=1.0m/s²的加速度做匀加速直线运动，与此同时，在距车头S=32米远的地方有一乘客正以v匀速追赶该客车．乘客在后视镜内的像保留时间不少于2.0s时，司机才能从后视镜内看清该乘客，并迅速制动，停车让乘客上车．则
（1）该乘客追赶客车的最小速度应为多少？
（2）若以第（1）问中的速度追赶客车，追赶客车的过程中经过多长时间乘客距离客车最近？最近距离是多少？

Answer 1

分析 （1）设乘客经过t时间与客车车头的位移为s₀，通过位移关系求出运动的时间，时间有两个值，在这两个时间之间，乘客与客车车头的位移小于s₀，则两个时间之差要保证大于等于t₀，根据该关系求出乘客速度的最小值．
（2）

解答 解：（1）从客车由静止开始运动计时，经过时间t，客车前进的位移为：${s}_{1}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
乘客前进的位移为：s₂=vt
由题意有：s₁+s-s₂=s₀
△t=t₂-t₁≥t₀
得：$\frac{1}{2}a{t}^{2}+s-vt-{s}_{0}$=0，
即t=$\frac{v±\sqrt{{v}^{2}-2a（s-{s}_{0}）}}{a}$，
所以有：△t=t₂-t₁=$\frac{v+\sqrt{{v}^{2}-2a（s-{s}_{0}）}}{a}-\frac{v-\sqrt{{v}^{2}-2a（s-{s}_{0}）}}{a}$=$\frac{2\sqrt{{v}^{2}-2a（s-{s}_{0}）}}{a}$≥t₀，
得v$≥\sqrt{2a（s-{s}_{0}）+\frac{（a{t}_{0}）^{2}}{4}}$
代入数据求得：v≥5m/s．
（2）在司机恰好能停车的情况下，追赶客车的过程中开始时人的速度大于车的速度，然后车的速度大于人的速度，所以当车与人的速度相等时，人与车之间的距离最小．则：v=at
所以：t=$\frac{v}{a}=\frac{5}{1}s=5$s
该过程中人的位移：x₁=vt=5×5=25m
车的位移：${x}_{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×1×{5}^{2}=12.5$m
人与车之间的距离：L′=S+x₂-x₁=32+12.5-25=19.5m
答：（1）该乘客追赶公交车的最小速度应为5m/s；
（2）经过5s时间乘客距离客车最近，最近距离是19.5m．

点评 该题属于运动学中的较难题，关键抓住乘客经过时间t与客车车头的位移为s₀，还要注意乘客与客车车头位移在s₀之内的时间差大于等于t₀．