Question

14．在如图的xOy坐标系中．A（-L，0）、C是x轴上的两点，P点的坐标为（0，L）．在第二象限内以D（-L，L）为圆心、L为半径的$\frac{1}{4}$圆形区域内，分布着方向垂直xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场；在第一象限三角形OPC之外的区域，分布着沿y轴负方向的匀强电场．现有大量质量为m、电荷量为+q的相同粒子，从A点平行xOy平面以相同速率、沿不同方向射向磁场区域，其中沿AD方向射入的粒子恰好从P点
进入电场，经电场后恰好通过C点．已知a=30°，不考虑粒子间的相互作用及其重力，求：
（1）电场强度的大小；
（2）x正半袖上有粒子穿越的区间．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，沿AD方向的粒子由P点进入电场时，速度方向与y轴垂直，进而电场后做类平抛运动，根据牛顿第二定律结合平抛运动基本公式求解电场强度；
（2）设粒子的速度方向与x轴正方向的夹角为θ，粒子从F点射出磁场，由于r=L，故四边形ADFO′为菱形，带电粒子离开磁场时，速度方向沿x轴正方向，根据几何关系结合平抛运动基本公式求出粒子到达x轴的坐标的表达式，从而求出x的范围．

解答 解：（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为r，粒子初速度为v₀，
则$Bq{v}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$，
由几何关系得：r=L，
沿AD方向的粒子由P点进入电场时，速度方向与y轴垂直，
设在电场中运动的时间为t₀，电场强度为E，则
qE=ma，
$\frac{L}{tanα}={v}_{0}{t}_{0}$，
L=$\frac{1}{2}a{{t}_{0}}^{2}$
解得：E=$\frac{2q{B}^{2}L}{3m}$
（2）若粒子的速度方向与x轴正方向的夹角为θ，粒子从F点射出磁场，由于r=L，故四边形ADFO′为菱形，
O′F平行AD，v_F⊥O′F，
带电粒子离开磁场时，速度方向沿x轴正方向，则有：
y_F=L（1-cosθ），
粒子从F′通过PC，则
${x}_{F′}=\frac{L-{y}_{F}}{tanα}$
粒子在电场中运动的时间为t，从C′通过x轴离开电场，沿x轴方向的位移为x，
x=v₀t，${y}_{F}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
粒子到达x轴的坐标为x_C′，x_C′=x_F′+x
${x}_{C′}=\sqrt{3}L（cosθ+\sqrt{1-cosθ}）$（0＜θ≤90°）
当θ=90°时，x_C′的最小值${x}_{min}=\sqrt{3}L$，
当$cosθ=\frac{3}{4}$时，x_C′的最大值${x}_{max}=\frac{5\sqrt{3}}{4}L$
所以x正半袖上有粒子穿越的区间为$\sqrt{3}L≤{x}_{C′}≤\frac{5\sqrt{3}}{4}L$
答：（1）电场强度的大小为$\frac{2q{B}^{2}L}{3m}$；
（2）x正半袖上有粒子穿越的区间为$\sqrt{3}L≤{x}_{C′}≤\frac{5\sqrt{3}}{4}L$．

点评 带电粒子在组合场中的运动问题，首先要运用动力学方法分析清楚粒子的运动情况，再选择合适方法处理．对于匀变速曲线运动，常常运用运动的分解法，将其分解为两个直线的合成，由牛顿第二定律和运动学公式结合求解；对于磁场中圆周运动，要正确画出轨迹，由几何知识求解半径．