Question

15．如图所示，长为2L的平板绝缘小车放在光滑水平面上，小车的两端分别固定带电小球A和B．A球的带电荷量为+2q，B球的带电荷量为-3q，小车和小球的总质量为m．虚线MN与PQ平行且相距3L，开始时，虚线MN位于小车正中间．若视小球为质点，在虚线MN，PQ间加上水平向右的电场强度大小为E的匀强电场后，小车开始运动．试求：
（1）B球刚进入电场时，小车的速度大小；
（2）小车向右运动的最大距离和此过程中B球电势能的变化量．
（3）A球从开始运动至刚离开电场所用的时间．

Answer 1

分析 （1）由动能定理求解B球刚进入电场时，小车的速度大小；
（2）对整体应用动能定理求解小车向右运动的最大距离，B球电势能的变化量由电场力做功与电势能变化的关系求解；
（3）小车先减速后减速，由运动学公式求解A球从开始运动至刚离开电场所用的时间

解答 解：（1）对于两球和小车整体，由动能定理可得：2EqL=$\frac{1}{2}$mv²
故v=$2\sqrt{\frac{qEL}{m}}$
（2）假设A球已经出了电场，B球向右运动的距离为X，则由全程的动能定理有：E×2q×2l-E×3q×（X-l）=0
解得，X=$\frac{7}{3}l$，
结合题意分析可知，原假设正确，故X=$\frac{7}{3}l$
电场力对B球做的负功为：W=-3Eq（X-l）=-4Eql
由功能关系可得，B球电势能增加了4Eql
（3）在B球进入电场前，系统的匀加速运动，加速度为：${a}_{1}=\frac{2Eq}{m}$①
前进的距离为：x₁=2l-l=l②
设时间为t₁，由运动学公式可得：x₁=$\frac{1}{2}$a₁${t}_{1}^{2}$③
在B球进入电场后，系统的匀减速运动，规定初速度方向为正，加速度为：${a}_{2}=\frac{2Eq-3Eq}{m}=\frac{-Eq}{m}=-\frac{{a}_{1}}{2}$④
设B进入电场到A离开电场的时间为t₂，由运动学公式可得，${x}_{2}{{=v}_{0}t}_{2}-\frac{1}{2}$${{a}_{2}t}_{2}^{2}$⑤
其中，v₀=a₁t₁，⑥
x₂=3l-2l=l⑦
A球从开始运动至刚离开电场所用的时间为：t=t₁+t₂⑧
由①～⑧可得，t=（3-$\sqrt{6}$）$\sqrt{\frac{lm}{Eq}}$
答：（1）B球刚进入电场时，小车的速度大小为$2\sqrt{\frac{qEL}{m}}$；
（2）小车向右运动的最大距离为$\frac{7l}{3}$，此过程中B球电势能增加了4Eql．
（3）A球从开始运动至刚离开电场所用的时间为（3-$\sqrt{6}$）$\sqrt{\frac{lm}{Eq}}$．

点评 本题重点考查了电场力做功与电势能变化的关系以及动能定理的应用，动能定理在解决不牵扯时间和加速度的运动学问题时为首选，要能够熟练应用．对于求解时间和加速度的运动学问题，必须采用牛顿第二定律和运动学公式，此时往往分段研究，运算量偏大．