Question

19．设火星半径为地球的$\frac{1}{4}$倍，火星表面的重力加速度是地球的$\frac{1}{6}$倍，求：
（1）火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的多少倍？
（2）火星的密度是地球密度的多少倍？

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度是星球表面卫星的环绕速度，根据重力等于向心力列式比较；
（2）在星球表面，根据重力等于万有引力列式；再结合密度的定义列式；联立得到星球密度的表达式进行分析即可．

解答 解：（1）第一宇宙速度是近地卫星的速度，根据重力等于向心力，有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$
故火星的第一宇宙速度与地球第一宇宙速度的比值为：$\frac{{v}_{火}}{{v}_{地}}=\sqrt{\frac{{g}_{火}{R}_{火}}{{g}_{地}{R}_{地}}}=\sqrt{\frac{1}{6}×\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{12}$；
（2）在星球表面，重力等于万有引力，故有：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
星球的密度为：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$
联立得到：$ρ=\frac{3g}{4πGR}$
故$\frac{{ρ}_{火}}{{ρ}_{地}}=\frac{{g}_{火}}{{g}_{地}}•\frac{{R}_{地}}{{R}_{火}}=\frac{1}{6}×4=\frac{2}{3}$
答：（1）火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的$\frac{\sqrt{6}}{12}$倍；
（2）火星的密度是地球密度的$\frac{2}{3}$倍．

点评 本题考查了重力加速度的决定式、第一宇宙速度的表达式，关键是记住两点：在地球表面重力等于万有引力；卫星的万有引力提供向心力．