Question

13．如图所示，一压缩的轻弹簧左端固定，右端与一滑块相接触但不拴接，滑块质量为m，A点左侧地面光滑，滑块与水平地面AB段间的动摩擦因数为0.2，AB的长度为5R，现将滑块由静止释放，当滑块被弹到A点时弹簧恰恢复原长，之后滑块继续向B点滑行，并滑上光滑的半径为R的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道BC．在C点正上方有一离C点高度也为R的旋转平台，沿平台直径方向开有两个离轴心距离相等的小孔P、Q，平台旋转时两孔均能达到C点的正上方．若滑块滑过C点后从P孔穿出，又恰能从Q孔穿过落回．已知压缩的轻弹簧具有的弹性势能为4.5mgR．空气阻力可忽略不计，求：
（1）滑块通过B点时对地板的压力；
（2）平台转动的角速度ω应满足什么条件（用g、R表示）?
（3）小物体最终停在距A点多远处？（假设小物体每次与弹簧碰撞时没有机械能损失）

Answer 1

分析 （1）对滑块运动过程又有动能定理求得在B处的速度，然后由牛顿第二定律求得支持力，即可由牛顿第三定律求得压力；
（2）根据动能定理求得通过小孔时的速度，然后由匀变速运动规律求得通过两孔的时间间隔，即可求得角速度；
（3）由动能定理求得速度得到物块的运动过程，然后应用动能定理求得在AB上运动的总路程，即可由运动过程求得最终位置．

解答 解：（1）滑块运动到B的过程只有弹簧弹力和摩擦力做功，故由动能定理可得：${E}_{p}-5μmgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，所以，${v}_{B}=\sqrt{7gR}$；
那么，对滑块在B点应用牛顿第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}=7mg$；
故由牛顿第三定律可得：滑块通过B点时对地板的压力N=F_N=8mg；
（2）滑块从B到平台小孔处的运动过程只有重力做功，故机械能守恒，则有：$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{v}^{2}$，所以，滑块在小孔处的速度$v=\sqrt{3gR}$；
滑块在小孔上方只受重力做功，故滑块穿过P、Q的时间间隔$t=2\frac{v}{g}=\sqrt{\frac{12R}{g}}$；
平台转动的角速度$ω=\frac{（2n+1）π}{t}=\frac{（2n+1）π}{2}\sqrt{\frac{g}{3R}}，n=0，1，2，3…$；
（3）设小物块第二次冲上BC，在B处的速度为v_B′，那么，对小物块从静止开始的运动过程应用动能定理可得：${E}_{p}-3μmg•5R=\frac{1}{2}m{v}_{B}{′}^{2}$；
故$\frac{1}{2}m{v}_{B}{′}^{2}=1.5mgR＜2mgR$，小物块不能再次到达平台高度；
那么，小物块整个运动过程中，只有弹簧弹力、摩擦力做功，设物块在AB上通过的路程为x，则由动能定理可得：E_p-μmgx=0，故$x=\frac{4.5mgR}{0.2mg}=22.5R=4×5R+2.5R$；
所以，小物体最终停在距A点2.5R处．
答：（1）滑块通过B点时对地板的压力为8mg；
（2）平台转动的角速度$ω=\frac{（2n+1）π}{2}\sqrt{\frac{g}{3R}}，n=0，1，2，3…$；?
（3）小物体最终停在距A点2.5R处．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．