Question

17．在如图甲所示的直角坐标系xOy中，第一象限内存在沿+x轴方向的有界匀强电场，场强大小为E，电场在y方向上的宽度为L，在x=L处有一垂直于x轴的足够大的荧光屏，荧光屏与电场边界的交点为A．现有一质量为m，电量为q的带正电粒子，从坐标原点O沿+y轴方向以某一初速度射入电场，最终打在A点，不计粒子的重力．
（1）求粒子射入电场的初速度；
（2）如图乙所示，保持粒子入射的初速度不变，若将电场的宽度变为$\frac{L}{2}$，求粒子打在荧光屏上的位置坐标；
（3）如图乙所示，若将电场的宽度变为$\frac{L}{2}$，仍要使粒子打在A点，则粒子从坐标原点入射的初速度变为多大？

Answer 1

分析 （1）粒子垂直射入电场做类平抛运动，根据牛顿第二定律和分位移的公式求解初速度；
（2）粒子先做类平抛运动，离开电场后做匀速直线运动．求出粒子离开电场时水平分速度，再由匀速运动的规律求出粒子竖直向上运动的位移，即可得到坐标．
（3）根据速度的分解得到粒子离开电场时速度的偏向角，再由电场中水平分位移公式求解．

解答 解：（1）粒子垂直射入电场做类平抛运动，则有：
 y方向：L=v₀t
 x方向：L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
由牛顿第二定律得 a=$\frac{qE}{m}$
联立解得 v₀=$\sqrt{\frac{qEL}{2m}}$
（2）射出电场时，t′=$\frac{L}{2{v}_{0}}$
  v_x=at′
联立解得 v_x=$\sqrt{\frac{qEL}{2m}}$
水平分位移 x₁=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}t{′}^{2}$=$\frac{L}{4}$
设偏转角为φ，则tanφ=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{0}}$=1
射出电场后，水平位移 x₂=L-x₁=$\frac{3}{4}$L
离开电场后竖直分位移 y′=x₂cotφ=$\frac{3}{4}$L
则 y=$\frac{L}{2}$+y′=$\frac{5}{4}$L
故粒子打在（L，$\frac{5}{4}$L）
（3）粒子射出电场时，tanθ=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{0}}$=$\frac{qEL}{2m{v}^{2}}$
 x₂′=$\frac{L}{2}tanθ$=$\frac{qE{L}^{2}}{4m{v}^{2}}$
在电场中运动时，x₁′=$\frac{1}{2}•$$\frac{qE}{m}$$（\frac{L}{2v}）^{2}$=$\frac{qE{L}^{2}}{8m{v}^{2}}$
又 x₁′+x₂′=L
解得 v=$\sqrt{\frac{3qEL}{8m}}$
答：
（1）粒子射入电场的初速度为 $\sqrt{\frac{qEL}{2m}}$；
（2）粒子打在荧光屏上的位置坐标为（L，$\frac{5}{4}$L）；
（3）粒子从坐标原点入射的初速度变为$\sqrt{\frac{3qEL}{8m}}$．

点评 解决本题的关键要掌握类平抛运动的处理方法：运动的分解，根据牛顿第二定律和运动学公式得到分位移公式，结合几何关系求解．