Question

在xoy平面内，直线OP与y轴的夹角α=45°．第一、第二象限内存在大小相等，方向分别为竖直向下和水平向右的匀强电场，电场强度E=1.0×10⁵N/C；在x轴下方有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=0.1T，如图所示．现有一带正电的粒子从直线OP上某点A（-L，L）处静止释放．设粒子的比荷

q

m

=4.0×107C/kg，粒子重力不计．求：
（1）当L=2cm时，粒子进入磁场时与x轴交点的横坐标
（2）当L=2cm时，粒子进入磁场时速度的大小和方向
（3）如果在直线OP上各点释放许多个上述带电粒子（粒子间的相互作用力不计），试证明各带电粒子进入磁场后做圆周运动的圆心点的集合为一抛物线（提示：写出圆心点坐标x、y的函数关系）

Answer 1

（1）带电粒子在第三象限做匀加速直线运动，进入第一象限的速度为v₁，设粒子出发点坐标为（-L，L），则
    qEL=

1

2

mv₁²
得v₁=4×10⁵m/s         
粒子在第一象限做类平抛运动：y=

1

2

at²=L  
    x=v₁t       
得x=2L=0.04m             
（2）粒子做类平抛运动，则v_x=v₁=4×10⁵m/s，v_y=at=4×10⁵m/s   
设粒子进入磁场时速度方向与x正方向的夹角为Φ，
则  tgΦ=

vy

vx

=1    
解得  Φ=45°
粒子进入磁场时的速度为
 v₂=

vx2+vy2

=4

2

×10⁵ m/s   
（3）L取任意时均有：x=2L，Φ=45°            
v=

2

v1=2

qEL m

粒子在磁场中做匀速运动时，qvB=m

v2

R

代入数据得：R=

L

所以圆心的坐标为：
  x=2L-

2

2

R，y=-

2

2

R
R=

L

代入并消去L，得
  x=4y²+y                       
此方程为一抛物线方程
答：（1）当L=2cm时，粒子进入磁场时与x轴交点的横坐标是0.04m．
（2）当L=2cm时，粒子进入磁场时速度的大小是4

2

×10⁵ m/s，方向与x正方向的夹角为45°．
（3）证明如上．