Question

3．如图所示，轻杆长为3L，在轻杆的两端分别固定了质量均为m的球A和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，杆和球在竖直面内转动，当球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力．已知重力加速度为g．求：
（1）球B运动到在最高点时，此时球A的速度大小．
（2）球B运动到最低点时，球B对杆的作用力大小及方向．

Answer 1

分析 （1）球B运动到最高点时，球B对杆无作用力，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出速度．A、B绕同一轴转动，角速度相同，由v=ωr分析A球的速度．
（2）球B从最高转到最低点过程中，系统机械能守恒，求出球B转到最低点时的速度，根据向心力公式求解即可．

解答 解：（1）由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{2L}$，
得到球B在最高点时速度为：v_B=$\sqrt{2gL}$．故A错误．
由v=ωr，ω相同，得到此时球A的速度为：v_A=$\frac{1}{2}{v}_{B}=\frac{1}{2}\sqrt{2gL}$．
（2）球B从最高转到最低点过程中，以O点参考，根据系统机械能守恒得
mg•2L-mgL+$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$+$\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$=mgL-mg•2L+$\frac{1}{2}m{{v}_{B}′}^{2}$+$\frac{1}{2}m{{v}_{A}′}^{2}$，又v_B′=2v_A ′
代入解得：v_B′=$\sqrt{\frac{13}{10}gL}$
在最低点，球B受到杆对它向上的拉力，则有：
F-mg=m$\frac{{{v}_{B}′}^{2}}{2L}$
解得：F=$\frac{33}{20}mg$
根据牛顿第三定律可知，球B对杆的作用力大小为$\frac{33}{20}mg$，方向向下．
答：（1）球B运动到在最高点时，此时球A的速度大小为$\frac{1}{2}\sqrt{2gL}$．
（2）球B运动到最低点时，球B对杆的作用力大小为$\frac{33}{20}mg$，方向向下．

点评 本题是机械能守恒定律与牛顿第二定律、圆周运动知识的综合应用，比较复杂，知道B球在最高点对杆恰好无作用力，由重力提供向心力．