Question

6．如图，质量为M=2Kg的足够长金属导轨abcd放在光滑的绝缘水平面上．一电阻不计、质量为m=2kg的导体棒PQ放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc构成矩形．棒与导轨间动摩擦因数为μ=0.1，棒左侧有两个固定于水平面的立柱．导轨bc段长为L=0.5米，开始时PQ左侧导轨的总电阻为R=1Ω，右侧导轨单位长度的电阻为R₀=0.5Ω/m．以ef为界，其左侧匀强磁场方向竖直向上，右侧匀强磁场水平向左，磁感应强度大小均为B=20T．在t=0时，一水平向左的拉力F垂直作用在导轨的bc边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度为a=2m/s²．
（1）求回路中感应电流随时间变化的表达式；
（2）经过多长时间拉力F达到最大值，拉力F的最大值为多少？
（3）某过程中回路产生的焦耳热为Q=20J，导轨克服摩擦力做功为W_f=4J，求导轨动能的增加量．

Answer 1

分析 （1）电磁感应定律求电动势，匀变速运动求速度，由闭合电路欧姆定律求出感应电流随时间变化的表达式；
（2）对导轨受力分析，牛顿第二定律求F得最大值；
（3）由动能定理求导轨动能的增加量．

解答 解：（1）对杆发电：E=BLv，
导轨做初速为零的匀加速运动，v=at，
E=BLat，
s=$\frac{1}{2}$at²
对回路：闭合电路欧姆定律：
$I=\frac{BLV}{{R}_{总}}=\frac{BLat}{R+2{R}_{0}（\frac{1}{2}a{t}^{2}）}=\frac{BLat}{R+{R}_{0}a{t}^{2}}$
（2）导轨受外力F，安培力F_A摩擦力f．其中
对杆受安培力：F_A=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R+{R}_{0}a{t}^{2}}$
F_f=μF_N=μ（mg+BIL）=μ（mg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R+{R}_{0}a{t}^{2}}$）
由牛顿定律F-F_A-F_f=Ma
F=Ma+F_A+F_f=Ma+μmg+（1+μ）$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R+{R}_{0}a{t}^{2}}$
上式中当：$\frac{R}{t}$=R₀at
即t=$\sqrt{\frac{R}{a{R}_{0}}}$时，外力F取最大值，
F _max=Ma+μmg+$\frac{1}{2}$（1+μ）B²L²$\sqrt{\frac{a}{R{R}_{0}}}$，
代入数据得：F _max=107 N
（3）设此过程中导轨运动距离为s，
由动能定理，W_合=△Ek     W_合=Mas．  
由于摩擦力F_f=μ（mg+F_A），
所以摩擦力做功：W_f=μmgs+μW_A=μmgs+μQ，
s=$\frac{{W}_{f}-μQ}{μmg}$，
△E_k=Mas=$\frac{{W}_{f}-μQ}{μmg}Ma$
代入数据得：△E_k=4J．
答：（1）回路中感应电流随时间变化的表达式为$I=\frac{BLat}{R+{R}_{0}a{t}^{2}}$；
（2）经过$\sqrt{\frac{a}{R{R}_{0}}}$时间拉力F达到最大值，拉力F的最大值为107N；
（3）导轨动能的增加量为4J．

点评 考查了电磁感应定律产生电动势、电流随时间变化的规律，解答时要注意回路中的电阻也时间在变化，要正确分析导轨的受力情况，运用电磁感应定律和力学规律解决电磁感应与力学的综合问题．