Question

（20分）内半径为R的直立圆柱器皿内盛水银，绕圆柱轴线匀速旋转（水银不溢，皿底不露），稳定后的液面为旋转抛物面。若取坐标原点在抛物面的最低点，纵坐标轴z与圆柱器皿的轴线重合，横坐标轴r与z轴垂直，则液面的方程为，式中ω为旋转角速度，g为重力加速度（当代已使用大面积的此类旋转水银液面作反射式天文望远镜）。

观察者的眼睛位于抛物面最低点正上方某处，保持位置不变，然后使容器停转，待液面静止后，发现与稳定旋转时相比，看到的眼睛的像的大小、正倒都无变化。求人眼位置至稳定旋转水银面最低点的距离。

Answer 1

解析：

旋转抛物面对平行于对称轴的光线严格聚焦，此抛物凹面镜的焦距为

．                                                    (1)

由(1)式，旋转抛物面方程可表示为

．                                                       (2)

停转后液面水平静止。由液体不可压缩性，知液面上升。以下求抛物液面最低点上升的高度。

抛物液面最低点以上的水银，在半径、高的圆柱形中占据体积为的部分，即附图中左图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体；其余体积为的部分无水银。体在高度处的水平截面为圆环，利用抛物面方程，得处圆环面积

．            (3)

将体倒置，得附图中图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体，相应抛物面方程变为

   

，                                                 (4)

其高度处的水平截面为圆面，面积为

．          (5)

由此可知

，                            (6)

即停转后抛物液面最低点上升

．                                             (7)

因抛物镜在其轴线附近的一块小面积可视为凹球面镜，抛物镜的焦点就是球面镜的焦点，故可用球面镜的公式来处理问题.两次观察所见到的眼睛的像分别经凹面镜与平面镜反射而成，而先后看到的像的大小、正倒无变化，这就要求两像对眼睛所张的视角相同．设眼长为．凹面镜成像时，物距即所求距离，像距v与像长分别为

，                                                    (8)

．                                (9)

平面镜成像时，由于抛物液面最低点上升，物距为

，                                    (10)

像距与像长分别为

，                                                      (11)

．                                       (12)

两像视角相同要求

，                                           (13)

即

，                          (14)

此处利用了(8)―(12)诸式．由(14)式可解得所求距离

．                                                        (15)

评分标准：本题20分.

   (1)式1分，(7)式4分，(8)、(9)式各2分，(10) 、(11)、 (12)式各1分，(13)式6分，(15)式2分。