Question

如图所示，圆心在原点、半径为R的圆将xOy平面分为两个区域，在圆内区域Ⅰ（）和圆外区域Ⅱ（）分别存在两个磁场方向均垂直于平面的匀强磁场；垂直于平面放置了两块平面荧光屏，其中荧光屏甲平行于轴放置在轴坐标为的位置，荧光屏乙平行于轴放置在轴坐标为的位置。现有一束质量为、电荷量为（）、动能为的粒子从坐标为（，0）的点沿轴正方向射入区域Ⅰ，最终打在荧光屏甲上，出现坐标为（，）的亮点。若撤去圆外磁场，粒子打在荧光屏甲上，出现坐标为（，）的亮点。此时，若将荧光屏甲沿轴负方向平移，则亮点的轴坐标始终保持不变。（不计粒子重力影响）

（1）求在区域Ⅰ和Ⅱ中粒子运动速度、的大小。
（2）求在区域Ⅰ和Ⅱ中磁感应强度、的大小和方向。
（3）若上述两个磁场保持不变，荧光屏仍在初始位置，但从点沿轴正方向射入区域Ⅰ的粒子束改为质量为、电荷量为、动能为的粒子，求荧光屏上的亮点的位置。

Answer 1

（1）由于在磁场中运动时洛仑兹力不做功，所以在区域Ⅰ和Ⅱ中粒子运动速度大小就是在点入射时初始速度大小，由可得
                 ①            （2分）
（1）粒子在区域Ⅰ中运动了四分之一圆周后，从点沿轴负方向进入区域Ⅱ的磁场。如图所示，圆周运动的圆心是点，半径为

（2） ②      （2分）
由可得
            ③    （2分）
方向垂直平面向外。    ④            （1分）
粒子进入区域Ⅱ后做半径为的圆周运动，由
可得
                ⑤
圆周运动的圆心坐标为（，），圆周运动轨迹方程为

将点的坐标（，）代入上式，可得
      ⑥             （2分）
利用⑤、⑥式得
  ⑦    （2分）
方向垂直平面向里。         ⑧             （1分）
（3）如图所示，粒子先在区域Ⅰ中做圆周运动。由可知，运动速度为

类似于⑤式，半径为 ⑨ （2分）
由圆心的坐标（，）可知，与的夹角为。通过分析如图的几何关系，粒子从点穿出区域Ⅰ的速度方向与轴正方向的夹角为
        ⑩            （3分）
粒子进入区域Ⅱ后做圆周运动的半径为           （2分）
其圆心的坐标为（，）,即（，），说明圆心恰好在荧光屏乙上。所以，亮点将出现在荧光屏乙上的点，其轴坐标为
             （3分

解析