Question

8．如图所示，足够长的斜面与水平面夹角为37^°，斜面上有一质量M=3kg的长木板，斜面底端挡板高度与木板厚度相同．m=1kg的小物块从空中某点以v₀=3m/s水平抛出，抛出同时木板由静止释放，小物块下降h=0.8m掉在木板前端，碰撞时间极短可忽略不计，碰后瞬间物块垂直斜面分速度立即变为零．碰后两者向下运动，小物块恰好在木板与挡板碰撞时在挡板处离开木板．已知木板与斜面间动摩擦因素μ=0.5，木板上表面光滑，木板与挡板每次碰撞均无能量损失，g=10m/s²，求：
（1）碰前瞬间小物块速度大小和方向．
（2）木板至少多长小物块才没有从木板后端离开木板？
（3）木板从开始运动到最后停在斜面底端的整过过程中通过路程多大？

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出小物块与斜面碰撞时的速度，结合平行四边形定则得出速度的方向．
（2）根据牛顿第二定律求出木板开始下滑的加速度，结合平抛运动的高度求出运动的时间，根据速度时间公式求出小物块与斜面碰撞时斜面的速度，再根据牛顿第二定律求出碰撞后物块和木板的加速度，抓住速度相等，结合运动学公式求出运动的时间，结合位移公式求出木板的至少长度．
（3）根据位移公式求出小物块平抛运动过程中木板下滑的位移，结合位移关系求出两者相碰到离开的时间，结合位移公式求出木板的位移，根据功能关系求出木板在斜面上的路程，从而得出总路程．

解答 解：（1）小物块平抛，根据动能定理得，mgh=$\frac{1}{2}$mv_t²-$\frac{1}{2}$mv₀²
代入数据解得：v_t=5m/s．
sinθ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{t}}=\frac{3}{5}$，解得：θ=37^°，即速度方向与斜面垂直．
（2）小物块平抛：h=$\frac{1}{2}$gt₁²---------------------------------------------------①
木板下滑：Mgsinα-μMgcosα=Ma-------------------------------------②
v=at₁-----------------------------------------------------------③
解①②③得：a=2m/s² t₁=0.4s   v=0.8m/s
小物块掉到木板上后速度变为0，然后向下运动，直到与木板速度相同过程：
小物块：mgsinα=ma₁----------------------------------------------------④
木  板：Mgsinα-μ（M+m）gcosα=Ma₂----------------------------------⑤
速度相同时：a₁△t=v+a₂△t--------------------------------------------⑥
解④⑤⑥得：a₁=6 m/s²，a₂=$\frac{2}{3}$ m/s²，△t=0.15s．
L_min=v△t+$\frac{1}{2}$a₂△t²-$\frac{1}{2}$a₁△t²=0.06m．
（3）小物块平抛过程木板下移：x₁=$\frac{1}{2}$v t₁=$\frac{1}{2}×0.8×0.4m$=0.16m，
两者相碰到小物块离开：x₂=$\frac{1}{2}$a₁t₂²=v t₂+$\frac{1}{2}$a₂ t₂²
代入数据解得：t₂=0.3s   x₂=0.27m
此时木板速度：v₂=v+a₂ t₂=$0.8+\frac{2}{3}×0.3m/s$=1m/s，
木板与挡板碰后全程生热：
Q=μMgcosα•S=$\frac{1}{2}$Mv₂²，
代入数据解得：S=0.125m．
可见木板在斜面上通过路程：
S_总=x₁+x₂+S=0.16+0.27+0.125m=0.555m．
答：（1）碰前瞬间小物块速度大小为5m/s，方向与斜面垂直．
（2）木板至少为0.06m小物块才没有从木板后端离开木板．
（3）木板从开始运动到最后停在斜面底端的整过过程中通过路程为0.555m．

点评 本题考查了平抛运动和匀变速直线运动的综合运用，关键理清物块和木板在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，难度中等．