Question

7．如图甲所示为水上乐园的“超级大喇叭”滑道，它主要由螺旋滑道和喇叭型滑道两部分组成，图乙是喇叭型滑道正视图．现有游客乘坐浮圈，从平台A处由静止开始下落，经螺旋滑道冲入喇叭型滑道，恰好能达到C处，已知游客与浮圈的总质量M=232.5kg，A处距地面高H=20m，喇叭型滑道最低处B距地面高h=1m．若B、C、D可视为在同一竖直圆内，半径R=9m，C处于圆心登高，只考虑浮圈在螺旋滑道AB内受到的阻力，求：
（1）在螺旋滑道内滑行过程，浮圈克服阻力做的功W₁；
（2）当浮圈滑至B处时，质量为50kg的游客受到的弹力F_N的大小；
（3）若只让浮圈（无游客）滑下，要使浮圈能过最高点D，则浮圈在A处的初速度v₀至少多大？（已知浮圈质量m=10kg，浮圈在螺旋滑道中克服阻力做功为（1）问中W₁的$\frac{1}{30}$倍）．

Answer 1

分析 （1）对浮圈和游客组成的整体，根据动能定理即可求解浮圈克服阻力做的功；
（2）从B到C根据机械能守恒求浮圈到达B处的速度，再由向心力公式列式即可求解；
（3）从A到D根据动能定理，结合D点向心力公式列式，联立即可求解；

解答 解：（1）从A到C根据动能定理得：$Mg{h}_{AC}^{\;}-{W}_{1}^{\;}=0$
解得：${W}_{1}^{\;}=2.325×1{0}_{\;}^{4}J$
（2）从B到C机械能守恒得：$MgR=\frac{1}{2}M{v}_{B}^{2}$
在B处有：${F}_{N}^{\;}-{M}_{游}^{\;}g$=${M}_{游}^{\;}$$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得${F}_{N}^{\;}=1.5×1{0}_{\;}^{3}N$
（3）从A到D根据动能定理得：$mg{h}_{AD}^{\;}-\frac{1}{30}•{W}_{1}^{\;}$=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-$$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
要过D则有：$mg=m\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
解得：${v}_{0}^{\;}=15m/s$
答：（1）在螺旋滑道内滑行过程，浮圈克服阻力做的功${W}_{1}^{\;}$为$2.325×1{0}_{\;}^{4}J$；
（2）当浮圈滑至B处时，质量为50kg的游客受到的弹力F_N的大小为$1.5×1{0}_{\;}^{3}N$；
（3）若只让浮圈（无游客）滑下，要使浮圈能过最高点D，则浮圈在A处的初速度v₀至少15m/s

点评 本题考查动能定理和向心力公式的应用，关键是清楚研究对象的运动过程，确定做功情况，一个题目可能需要选择不同的过程多次运用动能定理，