Question

如图为宇宙中有一个恒星系的示意图，A为该星系的一颗星，它绕中央恒星O运动轨道近似为圆，天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为R₀，周期为T₀ 
（1）中央恒星O的质量是多大？
（2）长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t₀时间发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B（假设其运行轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同），它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离．根据上述现象及假设，预测未知行星B绕中央恒星O运行轨道半径有多大？

Answer 1

分析：（1）研究行星绕恒星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式带有周期表达式，再根据已知量解出恒星质量；
（2）先根据多转动一圈时间为t₀，求出卫星的周期；然后再根据万有引力提供向心力解得轨道半径．

解答：解：（1）设中央恒星质量为M，A行星质量为m，则根据万有引力提供向心力有
G

Mm

R 2 0

=m(

2π

T0

)2R₀  
解得：M=

4π2R 3 0

GT 2 0

 
（2）由题意可知：A，B相距最近时，B对A的影响最大，且每隔t₀时间相距最近．设B行星周期为T_B，则有：

t0

T0

-

t0

TB

=1  
解得：TB=

T0t0

t0-T0

设B行星的质量为m′．运动的轨道半径为R_B，则根据万有引力提供向心力有
G

Mm′

RB2

=m′(

2π

TB

)2RB
由以上各式可解得：R_B=R0

3	( t0 t0-T0 )2

答：（1）中央恒星O的质量是

4π2R 3 0

GT 2 0

．
（2）未知行星B绕中央恒星O运行轨道半径为R0

3	( t0 t0-T0 )2

．

点评：从本题可以看出，通过测量环绕天体的轨道半径和公转周期，可以求出中心天体的质量．