Question

11．滑板运动是深受年轻人喜爱的一种极限运动．一种U型池的滑板运动场地截面示意图如图所示，场地由两个完全相同的$\frac{1}{4}$圆弧滑道AB、CD和水平滑道BC构成，圆弧滑道的半径R=4.25m，B、C分别为圆弧滑道的最低点，B、C间的距离s=8.0m．运动员从A点出发，通过AB、BC滑道，冲向CD滑道，到达圆弧滑道的最高位置D后竖直向上腾空跃起，在空中做出翻身、旋转等动作，然后再落回D点．假设某次运动中运动员经过水平滑道B点时水平向右的速度v₀=17m/s，运动员从B点运动到C点所用时间t=0.5s，从D点跃起时的速度v_D=8.0m/s．设运动员连同滑板的质量m=50kg，忽略空气阻力的影响，假定BC间阻力不变，重力加速度g取l0m/s²．求：

（1）运动员以v₀速度经过B点时地面对运动员的支持力大小；
（2）运动员从C点到D点运动的过程中需要克服阻力所做的功；
（3）若运动员从D点返回需要在BC段通过蹬地做功才能重新到A点，某同学想计算此运动员需要通过蹬地做多少功W 才能恰好回到A点，其立式分析如下：W-W_fDC-W_fCB-W_fBA=0-$\frac{1}{2}$mv_D²，其中W_fCB等于从B到C过程动能减少量，即W_fCB=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B²；W_fDC和W_fBA的数值等于（2）问中C点到D点运动的过程中需要克服摩擦阻力所做的功的大小．这位同学的分析正确吗？若正确请计算W 的大小；若不正确，请简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）在B点做圆周运动，根据牛顿第二定律求的相互作用力；
（2）在BC段运动员做匀减速运动，根据运动规律求得运动在C点的速度，再根据动能定理求得从C至D过程中克服摩擦力做的功；
（3）答案不正触，摩擦力的大小与正压力有关，而在圆弧面上由于运动速度不同，摩擦力的大小也不同，故摩擦力做的功不同，所以此分析是错误的

解答 解：（1）在B点做圆周运动，有牛顿第二定律可得${F}_{N}-mg=\frac{{mv}_{0}^{2}}{R}$
解得F_N=3900N
（2）从B到C为匀变速运动，根据匀变速直线运动的平均速度公式有：$\overline{{v}_{BC}}=\frac{s}{t}=\frac{{v}_{B}+{v}_{C}}{2}$
所以可得运动员经过C点时的速度：v_c=$2\frac{s}{t}-{v}_{B}=2×\frac{8}{0.5}-17m/s=15m/s$
从C到D令克服摩擦力做功为W_f，则根据动能定理有：
$-Wf-mgR=\frac{1}{2}{mv}_{D}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}$
带入数据得克服摩擦阻力所做的功：W_f=1900J；
（3）若运动员从D点返回需要在BC段通过蹬地做功才能重新到A点，某同学想计算此运动员需要通过蹬地做多少功W 才能恰好回到A点，其列式分析如下：W-W_fDC-W_fCB-W_fBA=0-$\frac{1}{2}$mv_D²其中W_fCB大小等于从B到C过程动能减少量，即W_fCB=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B²；W_fCD和W_fBA等于（2）小题中C点到D点运动的过程中克服摩擦阻力所做的功的大小．这位同学的分析不正确，D到C，B到A过程与C到D比较，速度不同，根据向心力公式，支持力不同，摩擦力也不同，则摩擦力做功不同
答：（1）运动员以v₀速度经过B点时地面对运动员的支持力大小为3900N；
（2）运动员从C点到D点运动的过程中需要克服阻力所做的功为1900J
（3）分析不正确
因为C到D和D到C速度不一样，滑道对运动员的支持力不样，克服摩擦力做功不一样．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律，涉及到圆周运动运动，匀变速直线运动，竖直上抛运动，综合性较强，难度中等