Question

如图13-1所示，物体A从高h的P处沿光滑曲面从静止开始下滑，物体B用长为L的细绳竖直悬挂在O点且刚和平面上Q点接触。已知mA=mB，高h及S(平面部分长)。若A和B碰撞时无能量损失。

小题1:(1)若L≤h/4，碰后A、B各将做什么运动?
小题2:(2)若L=h，且A与平面的动摩擦因数为μ，A、B可能碰撞几次？A最终在何处？

Answer 1

小题1:A与B碰后，B必做圆周运动。因此(1)的解为：A与B碰后A停在Q处，B做圆周运动，经一周后，B再次与A相碰，B停在Q处，A向右以速度做匀速直线运动。
小题2:(2)由上面分析可知，当L=h时，A与B碰后，B只做摆动，因水平面粗糙，所以A在来回运动过程中动能要损失。设碰撞次数为n，由动能定理可得：
　　 m_Agh-nμm_AgS="0" 所以n=h/μS
讨论：若n为非整数时，相碰次数应凑足整数数目。
　　 如n=1.2，则碰撞次数为两次。
当n为奇数时，相碰次数为(n-1)次。如n=3，则相碰次数为两次，且A球刚到达Q处将碰B而又未碰B；
当n为偶数时，相碰次数就是该偶数的数值，如n=4，则相碰次数为四次。球将停在距B球S处的C点。A球停留位置如图13-2所示

当水平部分没有摩擦时，A球下滑到未碰B球前能量守恒，与B碰撞因无能量损失，而且质量相等，由动量守恒和能量守恒可得两球交换速度。A 停在Q处，B碰后可能做摆动，也可能饶 O点在竖直平面内做圆周运动。如果做摆动，则经一段时间，B反向与A相碰，使A又回到原来高度，B停在Q处，以后重复以上过程，如此继续下去，若B做圆周运动，B逆时针以O为圆心转一周后与A相碰，B停在Q处，A向右做匀速运动。由此分析，我们可得本题的解如下：

小题1:(1)A与B碰撞前A的速度：mgh=mV_A²，V_A=
因为m_A=m_B，碰撞无能量损失，两球交换速度，得：V_A’=0，V_B’=V_A=
设B球到最高点的速度为Vc，B做圆周运动的临界条件：m_Bg=m_BV²/L [1]
又因m_BV_B‘²=m_BV²+m_Bg2L [2]
将[1]式及V_B’=代入[2]式得：L=2h/5
即L≤2h/5时，A、B碰后B才可能做圆周运动。而题意为L=h/4＜2h/5，故A与B碰后，B必做圆周运动。因此(1)的解为：A与B碰后A停在Q处，B做圆周运动，经一周后，B再次与A相碰，B停在Q处，A向右以速度做匀速直线运动。
小题2:(2)由上面分析可知，当L=h时，A与B碰后，B只做摆动，因水平面粗糙，所以A在来回运动过程中动能要损失。设碰撞次数为n，由动能定理可得：
　　 m_Agh-nμm_AgS="0" 所以n=h/μS
讨论：若n为非整数时，相碰次数应凑足整数数目。
　　 如n=1.2，则碰撞次数为两次。
当n为奇数时，相碰次数为(n-1)次。如n=3，则相碰次数为两次，且A球刚到达Q处将碰B而又未碰B；
当n为偶数时，相碰次数就是该偶数的数值，如n=4，则相碰次数为四次。球将停在距B球S处的C点。A球停留位置如图13-2所示