Question

2．如图所示，两平行光滑金属导轨倾斜放置且固定，两导轨间距为L，与水平面间的夹角为θ，导轨下端有垂直于轨道的挡板，上端连接一个阻值R=2r的电阻，整个装置处在磁感应强度为B、方向垂直导轨向上的匀强磁场中．两根相同的金属棒ab、cd放在导轨下端，其中棒ab靠在挡板上，棒cd在沿导轨平面向上的拉力作用下，由静止开始沿导轨向上做加速度a的匀加速运动．已知每根金属棒质量为m、电阻为r，导轨电阻不计，棒与导轨始终接触良好．求：
（1）经多长时间棒ab对挡板的压力变为零；
（2）棒ab对挡板压力为零时，电阻R的电功率；
（3）棒ab运动前，拉力F随时间t的变化关系．

Answer 1

分析 （1）取ab棒为研究对象，根据平衡条件列方程，根据法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律结合电路特点列方程求解；
（2）根据欧姆定律求出cd两端电压，根据电功率计算公式可得电阻R的电功率；
（3）对cd棒根据牛顿第二定律列方程求解拉力F随时间t的变化关系．

解答 解：（1）取ab棒为研究对象，受力分析如图所示，根据平衡条件可得：BI_abL=mgsinθ，
设t时刻cd棒产生的电动势为E，根据法拉第电磁感应定律可得：E=BLat，
根据闭合电路的欧姆定律可得：I=$\frac{E}{r+{R}_{并}}$，
其中R_并=$\frac{2{r}^{2}}{3r}=\frac{2r}{3}$，
根据并联电路的特点可得：I_ab=$\frac{2}{3}I$，
联立解得：t=$\frac{5mgrsinθ}{2{B}^{2}{L}^{2}a}$；
（2）此时cd两端电压U_cd=E-1r，
解得：U_cd=$\frac{mgrsinθ}{BL}$，
根据电功率计算公式可得电阻R的电功率为：P=$\frac{{U}_{ab}^{2}}{2r}$，
联立解得：P=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}rsi{n}^{2}θ}{{2B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）对cd棒根据牛顿第二定律可得：F-BIL-mgsinθ=ma，
解得：F=m（gsinθ+a）+$\frac{3{B}^{2}{L}^{2}a}{5r}t$．
答：（1）经$\frac{5mgrsinθ}{2{B}^{2}{L}^{2}a}$时间棒ab对挡板的压力变为零；
（2）棒ab对挡板压力为零时，电阻R的电功率为$\frac{{m}^{2}{g}^{2}rsi{n}^{2}θ}{{2B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）棒ab运动前，拉力F随时间t的变化关系为F=m（gsinθ+a）+$\frac{3{B}^{2}{L}^{2}a}{5r}t$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．