Question

如图所示，倾角37°的斜面上，轻弹簧一端固定在A点，自然状态时另一端位于B点．斜面上方有一半径R=1m、圆心角等于143°的竖直圆弧形光滑轨道与斜面相切于D处，圆弧轨道的最高点为M．用质量为m₁=6.3kg的物块将弹簧缓慢压缩至C点，由静止释放后弹簧恢复原长时物块到B点速度恰好减小为0．用同种材料、质量为m₂=0.3kg的另一小物块将弹簧缓慢压缩到C点后由静止释放，物块经过B点后的位移与时间的关系为x=8t-4t²（x单位：m，t单位：s），若物块经过D点后恰能到达M点，重力加速度g=m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
求：
（1）物块与斜面间的动摩擦因数；
（2）BD间的距离l_BD；
（3）m₂从被释放至运动到M点的过程中克服摩擦力做的功W．

Answer 1

分析：（1）由x=8t-4t²分析出物块经过B速度，B到D过程的加速度，根据牛顿第二定律求解物块与斜面间的动摩擦因数；
（2）物块经过D点后恰能到达M点时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出物块经过M点的速度，物块D到M的过程中，只有重力做功，机械能守恒，可求出物块经过D点的速度，由运动学公式求出BD间的距离l_BD；
（3）两个物体从C到B过程，弹簧弹力做功相同，分别对两个物体研究C到B过程，可求出l_CB，即可求出m₂从被释放至运动到M点的过程中克服摩擦力做的功W．

解答：解：（1）由物块经物块经过B点后的位移与时间的关系为x=8t-4t²，可知，物块经过B点时的速度为v_B=8m/s，从B到D的过程中加速度大小为a=8m/s²．
根据牛顿第二定律，有
  mgsin37°+μmgcos37°=ma
解得，μ=0.25
（2）设物块经过M点的速度为v_M，由牛顿第二定律得
   mg=

m v 2 M

R

物块从D到M的过程中，根据机械能守恒定律得
 

1

2

m

v

2 D

=mgR（1+cos37°）+

1

2

m

v

2 M

物块从B到D的过程中，有

v

2 D

-

v

2 B

=-2alBD
解得，lBD=

9

8

m
（2）设物块由C到B过程弹簧弹力做的功为W弹，对m₁、m₂，由C到B的过程，
根据动能定理，分别有
-μm₁gl_CBcos37°-m₁gl_CBsin37°+W_弹=0
-μm₂gl_CBcos37°-m₂gl_CBsin37°+W弹=

1

2

m2

v

2 B

又W=μm₂gcos37°（l_CB+l_BD）
解得，W=0.795J
答：
（1）物块与斜面间的动摩擦因数是0.25；
（2）BD间的距离l_BD是

9

8

m．
（3）m₂从被释放至运动到M点的过程中克服摩擦力做的功W是0.795J．

点评：本题是力学综合题，分析过程是基础，把握解题规律是关键，要抓住C到B过程中，弹簧的弹力做功相同．