Question

8．平行板电容器板面积为S，极板间距为d，其间充满相对介电常数为?_r的介质．在下列两种情况下，介质从电容器极板间完全抽出，外力需做多少功：
（1）电容器的电压U不变；
（2）电容器的电量Q不变：

Answer 1

分析 根据平行板电容器的电容的计算公式，分别写出两种情况下的电容，如何结合电容器的储能公式即可求解．

解答 解：电容器的储能公式：${E}_{电}=\frac{1}{2}C{U}^{2}$
平行板电容器板面积为S，极板间距为d，其间充满相对介电常数为?_r的介质时的电容：
${C}_{1}=\frac{{?}_{r}•S}{4πkd}$．
将介质从电容器极板间完全抽出后，空气的介电常数近似等于1．所以电容：${C}_{2}=\frac{S}{4πkd}$
（1）电容器的电压U不变，有介质时电容器储存的电能：${E}_{电1}=\frac{1}{2}{C}_{1}{U}^{2}$=$\frac{{?}_{r}•S•{U}^{2}}{8πkd}$
将介质从电容器极板间完全抽出储存的电能：${E}_{电2}=\frac{1}{2}{C}_{2}{U}^{2}$=$\frac{S•{U}^{2}}{8πkd}$
外力需做功：W₁=E_电1-E_电2=$\frac{{?}_{r}•S•{U}^{2}}{8πkd}$-$\frac{S•{U}^{2}}{8πkd}$=$\frac{（{?}_{r}-1）•S{U}^{2}}{8πkd}$
（2）电容器的电量Q不变，开始时的电压：${U}_{1}=\frac{Q}{{C}_{1}}=\frac{4πkd•Q}{{?}_{r}•S}$
将介质从电容器极板间完全抽出的电压：${U}_{2}=\frac{Q}{{C}_{2}}=\frac{4πkd•Q}{S}$
有介质时电容器储存的电能：${E}_{电3}=\frac{1}{2}{C}_{1}{U}_{1}^{2}=\frac{1}{2}Q•{U}_{1}=\frac{2πkd•{Q}^{2}}{{?}_{r}•S}$
将介质从电容器极板间完全抽出储存的电能：${E}_{电4}=\frac{1}{2}{C}_{2}{U}_{2}^{2}=\frac{1}{2}Q•{U}_{2}$=$\frac{2πkd•{Q}^{2}}{S}$
外力需做功：W₂=E_电3-E_电4=$\frac{2πkd•{Q}^{2}}{{?}_{r}•S}$-$\frac{2πkd•{Q}^{2}}{S}$=$\frac{2πkd•{Q}^{2}}{{?}_{r}•S}（1-{?}_{r}）$
答：（1）电容器的电压U不变时外力需做功$\frac{（{?}_{r}-1）•S{U}^{2}}{8πkd}$；
（2）电容器的电量Q不变时外力需做功$\frac{2πkd•{Q}^{2}}{{?}_{r}•S}（1-{?}_{r}）$：

点评 该题中，需要求外力的功，其本质是根据功能关系，分别计算出在不同的条件下电容器储存的电场能，它们的差就是外力需要做的功．