Question

已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转的影响．
（1）求卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v₁；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动且运行周期为T，求卫星运行半径r．

Answer 1

分析：（1）卫星环绕地球运行的第一宇宙速度就是卫星绕地球附近做匀速圆周运动的速度，根据万有引力等于向心力列方程求解；
（2）再运用万有引力等于向心力这一思路，列式求解，向心力用周期来表示即可．

解答：解：（1）设卫星的质量为m，地球的质量为M，物体在地球表面附近时，有：
   G

Mm

R2

=mg  ①
卫星做圆周运动时，万有引力提供向心力，即：
   G

Mm

R2

=m

v 2 1

R

  ②
联立解得，v₁=

gR

（2）卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力充当向心力，则有：
G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r  ③
联立①③解得，r=

3	gR2T2 4π2

答：（1）卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v₁是

gR

．
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动且运行周期为T，卫星运行半径r为

3	gR2T2 4π2

．

点评：解答此题要清楚地球表面的物体受到的重力等于万有引力，地球近地卫星速度就是地球的第一宇宙速度．