Question

如图甲所示，在整个矩形区域MNPQ内有由M指向N方向的匀强电场E（图甲中未画出）和垂直矩形区域向外的匀强磁场B（图甲中未画出），E和B随时间变化的规律如图乙所示在t=0时刻，将带正电、比荷为25C/kg的粒子从MQ的中点无初速释放，粒子在第8s内经NP边离开矩形区域已知MQ边足够长，粒子重力不计，。

       （1）求矩形区域PQ边长满足的条件；

       （2）若要粒子从MQ边飞出，释放粒子的时刻t应满足什么条件?

Answer 1

解：（1）第1s内粒子在电场力的作用下作匀加速直线运动，设加速度为a，由牛顿第二定律有：

                                                                                 ①（1分）

第2s内粒子在库仑力作用下作匀速圆周运动，有：

                                                                             ②（1分）

代入已知数据可得T=1s，所以可得粒子在1s、3s、5s、7s内作匀加速运动，2s，4s，6s内作匀速圆周运动。  （1分）

可作出粒子在第8s内刚好不从NP边离开矩形区域的运动示意图，如图所示。粒子在奇数秒内的整体运动可以等效为初速度为0的匀加速直线运动。                                                          （1分）

设前7s内的位移为s₇，

                                                                   ③（1分）

设粒子第7s末的速度为υ₇，第8s内粒子圆周运动的半径为R₈，有：

υ₇=a（7-3）                                                                               （1分）

                                                                       ④（1分）

由图可知，粒子要在第8s内从NP边离开矩形区域，要满足

                                                                 ⑤（2分）

由以上各式联立求解，可得：8m<L_NP<8.64m                               （2分）

(2)设在第1秒内的t₀时刻释放粒子，则第1s内粒子在电场力的作用下加速时间为1-t₀，第1s内的位移为s₀，第1s末的速度大小为υ₀，由运动学方程有：

                                                                  ⑥（1分）

υ₀=a（1-t₀）                                                                          ⑦（1分）

粒子在磁场中作匀速圆周运动，设圆周运动的半径为r₀，有：

                                                                       ⑧（1分）

要粒子从MQ边界飞出，则r₀>s₀                                                                                           ⑨（2分）

由⑥~⑨式可得：t>0.68s                                                              （1分）

结合电场和磁场的周期性可得要粒子从MN边飞出，粒子释放的时刻t满足：

(2n+0.68)s<t<(2n+1)s   (n∈N)                                                 （2分）