Question

如图所示，悬挂在竖直平面内O点的一个可视为质点的小球，其质量为m，悬线长为L，运动过程中，悬线能承受的最大拉力为F．现给小球一水平初速度v，使其在竖直平面内运动．已知小球在运动时，悬线始终不松弛，试求v的大小范围．

Answer 1

分析：分两种情况进行讨论，即小球在运动过程中，最高点与O点等高或比O低时，线不松弛，小球能在竖直平面内做圆周运动，线也不松弛，根据圆周运动的基本公式即可求解．

解答：解：存在两种可能：
（1）小球在运动过程中，最高点与O点等高或比O低时，线不松弛．

1

2

mv12≤mgL得：v1≤

2gL

（2）小球恰能过最高点时，在最高点速度设为v₀，对应的最低点速度设为v₂，则有：

m v02 L =mg

1 2 mv22= 1 2 mv02+mg×2L

解得：v2=

5gL

考虑到在运动过程中，悬线又不能断裂，小球在最低点又需满足：
F-mg=m

v22

L

v2≤

FL m -gL

所以，v的大小取值范围为：
0＜v1≤

2gL

或

5gL

≤v2≤

FL m -gL

，在此速度范围，悬线均不会松弛．
答：的大小取值范围为：0＜v1≤

2gL

或

5gL

≤v2≤

FL m -gL

时，悬线均不会松弛．

点评：本题主要考查了圆周运动向心力公式的直接应用，同时要考虑，绳子的拉力不能超过其最大承受力，还要注意有两种情况，难度适中．