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如图1所示,光滑矩形斜面ABCD的倾角θ=30°,在其上放置一矩形金属线框abcd,ab的边长l1=1m,bc的边长l2=0.6m,线框的质量m=1kg,电阻R=0.1Ω,线框通过细线绕过定滑轮与重物相连,细线与斜面平行且靠近;重物质量M=2kg,离地面的高度为H=4.8m;斜面上efgh区域是有界匀强磁场,磁感应强度的大小为0.5T,方向垂直于斜面向上;已知AB到ef的距离为4.2m,ef到gh的距离为0.6m,gh到CD的距离为3.2m,取g=10m/s2;现让线框从静止开始运动(开始时刻,cd边与AB边重合),求:
(1)通过计算,在图2中画出线框从静止开始运动到cd边与CD边重合时(不考虑ab边离开斜面后线框的翻转),线框的速度-时间图象.
(2)线框abcd在整个运动过程中产生的焦耳热.
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分析:(1)本题要分过程求线框的速度,再作出图象.
首先,线框abcd由静止沿斜面向上运动,到ab与ef线重合过程中,线框和重物以大小相等的加速度做匀加速运动,采用隔离法,由牛顿第二定律求出两个物体的加速度,由运动学公式求出ab恰好要进入磁场时的速度,或根据动能定理列式求ab恰好要进入磁场时的速度.根据计算得知线框进入磁场后做匀速直线运动,直到cd边离开gh的瞬间为止,此时M刚好着地,细绳松弛,线框继续向上做减速运动,再由牛顿第二定律和运动学公式结合求cd边离开CD的速度,即可作出图象.
(2)根据功能关系列式求热量.
解答:解:(1)解法一:
如图所示,线框abcd由静止沿斜面向上运动,到ab与ef线重合过程中,线框受恒力作用,线框和重物以大小相等的加速度做匀加速运动,设为a1,则:
  对M:Mg-T=Ma1
  对m:T-mgsinθ=ma1
(或对系统直接列出:Mg-mgsinθ=(M+m)a1亦可)
联立得:①、②a1=
Mg-mgsinθ
M+m
=
20-5
3
=5
m/s2     
设ab恰好要进入磁场时的速度为v0,则:
v
2
0
=2a1s1

解得 v0=
2×5×(4.2-0.6)
=6
m/s   
该过程的时间为:t1=
v0-0
a1
=
6
5
=1.2

ab边刚进入磁场时:Mg-T=Ma2
T-mgsinθ-FA=ma2
又 FA=BIl1 I=
E
R
   E=Bl1v0
联立求解得:a2=
MgR-mgRsinθ-B2
l
2
1
v0
(M+m)R
=
20×0.1-5×0.1-0.52×1×6
3×0.1
=0
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故线框进入磁场后,做匀速直线运动,直到cd边离开gh的瞬间为止,匀速运动的时间 t2=
2l2
v 0
=
1.2
6
=0.2

此时M刚好着地,细绳松弛,线框继续向上做减速运动,其加速度大小为:a3=
mgsinθ
m
=gsinθ=5
m/s2
直到线框的cd边离开CD线.设线框cd边离开CD的速度为v1
则得-2a3s2=
v
2
1
-
v
2
0

    v1=
v
2
0
-2a3s2
=
36-2×5×3.2
=2
m/s 
时间 t3=
v1-v0
-a3
=
2-6
-5
=0.8

则线框的速度--时间图象如右图
解法二:
如图所示,线框abcd由静止沿斜面向上运动到ab与ef线重合的过程中,线框和重物在恒力作用下以共同的加速度做匀加速运动.
设ab恰好要进入磁场时的速度为v0,对线框和重物的整体在这一过程运用动能定理:Mgs1-mgs1sinθ=
1
2
(M+m)
v
2
0

解得:v0=
2gs1(M-msinθ)
M+m
=
2×10×(4.2-0.6)(2-0.5)
3
=6
m/s 
该过程的时间为:t1=
s1
.
v
1
=
s1
0+v0
2
=
4.2-0.6
6
2
=1.2s

ab边刚进入磁场时由于切割磁感线而产生电流,所以线框受到沿斜面向下的安培力作用:FA=BIl1=
B2
l
2
1
v0
R

故此时,F=Mg-mgsinθ-FA=20-10×0.5-
0.52×12×6
0.1
=0

故线框进入磁场后,做匀速直线运动,直到cd边离开gh的瞬间为止.t2=
2l2
v 0
=
1.2
6
=0.2
s                                         
此时M刚好着地,细绳松弛,线框继续向上做减速运动,设线框的cd边到达CD线精英家教网
的速度为v1,则对线框有:-mgs2sinθ=
1
2
m
v
2
1
-
1
2
m
v
2
0

v1=
v
2
0
-2gs2?sinθ
=
36-2×5×3.2
=2
m/s
  t3=
s2
v0+v1
2
=
3.2
6+2
2
=0.8

则线框的速度--时间图象如右图
(2)解法一:Q=2FAl2=2(Mg-mgsinθ)l2=18J 
解法二:Q=Mg?2l2-mg?2l2sinθ=18J
答:
(1)线框的速度-时间图象如图所示.
(2)线框abcd在整个运动过程中产生的焦耳热为18J.
点评:本题要能根据线框的受力情况,分析其运动过程,再选择力学和电磁学的规律求解.考查受力平衡条件、能量守恒定律、牛顿第二定律及运动学公式、法拉第定律、欧姆定律、安培力等等众多知识,综合较强.
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(1)通过计算,在图2中画出线框从静止开始运动到cd边与CD边重合时(不考虑ab边离开斜面后线框的翻转),线框的速度-时间图象.
(2)线框abcd在整个运动过程中产生的焦耳热.

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