Question

在竖直平面内建立一平面直角坐标系xoy，x轴沿水平方向，如图甲所示．坐标系的第一象限内有一正交的匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上，场强为E₁，磁场方向垂直纸面，磁感应强度B₀=

3+ 3

10

，方向按图乙所示规律变化（以垂直纸面向外的磁场方向为正向），第二象限内有一水平向右的匀强电场，场强E₂=2E₁．一个比荷

q

m

=10²C/kg的带正电的粒子（可视为质点）以v₀=4m/s的速度在-x上的A点竖直向上抛出，恰能以v₁=8m/s速度从+y上的C点水平进入第一象限．取粒子刚进入第一象限时t=0，g=10m/s²，试求：

（1）AC间电势差U_AC．
（2）为确保粒子不再越过OC进入第二象限，则交变磁场周期最大值T_m为多少？若磁场周期为上述最大值，粒子打到+x上D点（图中未标出），此时OD长L₀为多少？

Answer 1

分析：（1）将粒子在第二象限内的运动分解为水平方向和竖直方向，得出两个方向上的运动规律，结合运动学公式和牛顿第二定律求出带电微粒运动到C点的纵坐标值h及电场强度E₁，从而可求得AC间电势差；
（2）当交变磁场周期取最大值而粒子不再越过y轴时，根据几何关系求出T_m和L₀

解答：解：（1）设OC高为h，OA长为L，粒子在第一象限运动时间为t₁，则
-mgh=0-

1

2

m

v

2 0

qE₁L=

1

2

m

v

2 1

L=

1

2

v1t1，h=

1

2

v0t1
代入数据可得：h=0.8m，L=1.6m，E₁=0.2V/m，
所以U_AC=E₁L=0.32V
（2）粒子在第一象限运动时因mg-qE₁=0，
故粒子做匀速圆周运动运动，设粒子运动圆轨道半径为R，周期为T．
则qv₁B₀=

m v 2 1

R

可得R=

0.8

3+ 3

m，即R=

h

3+ 3

 由匀速圆周运动的周期T=

2πm

qB0

，代入B₀得：
T=

π(3- 3 )

30

 s                                 
当交变磁场周期取最大值而粒子不进入第一象限时可作如图运动情形：

由图可知T₀=

5

6

T=

(3- 3 )π

36

s
L₀=2R=

4(3- 3 )

15

m 
答：（1）AC间电势差为0.32V．
    （2）交变磁场周期最大值为 

(3- 3 )π

36

s； OD长

4(3- 3 )

15

m

点评：本题中质点在复合场运动，分析受力情况，确定质点的运动情况是解题的基础．结合粒子运动的周期性以及临界状态，运用数学几何知识综合求解．