Question

2．在水平地面上方足够大的真空室内存在着匀强电场和匀强磁场共存的区域，且电场与磁场的方向始终平行．在距离水平地面的某一高度处，有一个带电量为q、质量为m的带负电质点，以垂直于电场方向的水平初速度v₀进入该真空室内，取重力加速度为g．求：
（1）若要使带电质点进入真空室后做半径为R的匀速圆周运动，求此时的电场强度E₁和磁感应强度B₁的大小及所有可能的方向；
（2）为保证带电质点进入真空室后做匀速直线运动，调整磁场和电场的大小和方向，仍保证电场与磁场的方向始终平行，当磁场强度大小变为B₂时，求此时电场强度E₂的大小和方向应满足的条件；
（3）若带电质点在满足第（2）问的条件下运动到空中某一位置M点时立即撤去磁场，此后运动到空中另一位置N点时的速度大小为v，求M、N两点间的竖直高度H及经过N点时重力做功的功率．

Answer 1

分析 （1）带电质点在电场与磁场中做匀速圆周运动，则电场力与重力相平衡，而洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律即可求解．
（2）根据质点做匀速直线运动，质点受力平衡，从而依据几何关系可求出电场强度大小及其方向；
（3）当撤去磁场后，带电质点只受电场力和重力作用，在这个过程中电场力不做功，由机械能守恒定律可求出M、N两点间的竖直高度H；由质点做类平抛运动将其速度分解与功率表达式相结合，从而确定经过N点时重力做功的功率．

解答 解：（1）由于带电质点在重力场、匀强电场${E}_{1}^{\;}$和匀强磁场${B}_{1}^{\;}$共存的区域做匀速圆周运动，所以受到的电场力必定与重力平衡，即$q{E}_{1}^{\;}=mg$
解得${E}_{1}^{\;}$=$\frac{mg}{q}$，由质点带负电可知${E}_{1}^{\;}$方向竖直向下
根据牛顿第二定律和向心力公式：$q{v}_{0}^{\;}{B}_{1}^{\;}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：${B}_{1}^{\;}=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qR}$
磁感应强度${B}_{1}^{\;}$可能为竖直向上或竖直向下
（2）磁场${B}_{2}^{\;}$和电场${E}_{2}^{\;}$方向相同时，如图甲所示：磁场B和电场E方向相反时，如图乙所示
 
由于带电质点做匀速直线运动，由平衡条件和几何关系可知：
$（q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}$+$（q{E}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}$=$（mg）_{\;}^{2}$
解得：${E}_{2}^{\;}=\frac{1}{q}\sqrt{{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}-{q}_{\;}^{2}{v}_{0}^{2}{B}_{2}^{2}}$
图中的θ角由$sinθ=\frac{q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}}{mg}$
得：$θ=arcsin\frac{q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}}{mg}$
即电场${E}_{2}^{\;}$的方向为与竖直方向夹角$θ=arcsin\frac{q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}}{mg}$，且斜向下的一切方向
或：θ=$arctan\frac{q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}}{q{E}_{2}^{\;}}$=arctan$\frac{q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}}{\sqrt{{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}-{q}_{\;}^{2}{v}_{0}^{2}{B}_{2}^{2}}}$，且斜向下的一切方向
（3）当撤去磁场后，带电质点只受电场力和重力作用，这两个力的合力大小为$q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}$，方向既垂直于初速度${v}_{0}^{\;}$的方向也垂直电场${E}_{2}^{\;}$的方向．设空中M、N两点间的竖直高度为H，因为带电质点始终在垂直电场力的平面内运动，故电场力在这个过程中不做功．
则由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}=mgH+\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：$H=\frac{{v}_{\;}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2g}$
因带电质点做类平抛运动，由速度的分解可求得带电质点到达N点时沿合力方向的分速度大小为：
${v}_{N}^{\;}=\sqrt{{v}_{\;}^{2}-{v}_{0}^{2}}$
又因电场力在这个过程中不做功，只有重力做功，带电质点到达N点时，重力做功的功率等于合外力在此时的瞬时功率．
解得：${P}_{N}^{\;}=q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}{v}_{N}^{\;}=q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}\sqrt{{v}_{\;}^{2}-{v}_{0}^{2}}$
答：（1）要使带电质点进入真空室后做半径为R的匀速圆周运动，此时的电场强度${E}_{1}^{\;}$为$\frac{mg}{q}$，方向竖直向下；磁感应强度B₀的大小$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qR}$，所有可能的方向可能竖直向上或竖直向下；
（2）为保证带电质点进入真空室后做匀速直线运动，调整磁场和电场的大小和方向，仍保证电场和磁场方向始终平行，当磁场强度大小变为B₂时，此时电场强度E₂的大小为$\frac{1}{q}\sqrt{{m}_{\;}^{2}{g}_{\;}^{2}-{q}_{\;}^{2}{v}_{0}^{2}{B}_{2}^{2}}$，方向方向为与竖直方向夹角$θ=arcsin\frac{q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}}{mg}$，且斜向下的一切方向；
（3）若带电质点在满足第（2）问的条件下运动到空中某一位置M点时立即撤去磁场，此后运动到空中另一位置N点时的速度大小为v，M、N两点间的竖直高度H为$\frac{{v}_{\;}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2g}$，经过N点时重力做功的功率$q{v}_{0}^{\;}{B}_{2}^{\;}\sqrt{{v}_{\;}^{2}-{v}_{0}^{2}}$．

点评 考查洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动的处理方法，由洛伦兹、电场力与重力相平衡，结合几何关系来综合求解；同时还考查机械能守恒定律，及类平抛运动规律，并运用功率的表达式来求解．