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    3．某同学设计了如图所示的趣味实验来研究碰撞问题，用材料和长度相同的不可伸长的轻绳依次将5个大小相同、质量不等的小球悬挂于水平天花板下方，且相邻的小球静止时彼此接触但无相互作用力，小球编号从左到右依次为1、2、3、4、5，每个小球的质量为其相邻左边小球质量的k倍，k=$\sqrt{2}$-1，所有小球的球心等高．现将1号小球由最低点向左拉起高度h，保持绳绷紧状态由静止释放1号小球，使其与2号小球碰撞，2号小球再与3号小球碰撞…．所有碰撞均为在同一直线上的正碰且无机械能损失．已知重力加速度为g，空气阻力、小球每次碰撞时间均可忽略不计．
    （1）求1号小球与2号小球碰撞之前的速度v1的大小；
    （2）求第5个球被第4个小球碰后的速度；
    （3）摆线长为L=16h，在第5个球右侧偏离竖直方向成θ=60°角的虚线上的A点钉了一个钉子，则A距悬点的距离与L的比例系数p满足什么条件时，第5个小球能绕A点做完整的圆周运动．

    分析 （1）对于1号小球由h高运动到最低点过程，根据机械能守恒求出碰前的速度v1．
    （2）、对于1、2号小球碰撞的过程根据动量守恒定律和机械能守恒列出等式，得到碰后两球的速度．对于2、3号小球碰撞的过程，根据动量守恒定律和机械能守恒列式，得到碰后两球的速度，总结规律，得到5号小球被碰后的速度．
    （3）因第5个小球能绕A点做完整的圆周运动，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律得该球在最高点的速度．第5号球从最底点运动到圆周的最高点的过程，根据机械能守恒列式，联立即可求解．

    解答 解：（1）设1号小球的质量为m1，碰前的速度为v1．对于1号小球由h高运动到最低点过程，根据机械能守恒有：
    m1gh=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$…①
    解得：v1=$\sqrt{2gh}$…②
    （2）设1号、2号小球碰撞后的速度分别为v1′和v2，取水平向右为正方向．对于1、2号小球碰撞的过程，根据动量守恒定律有：
    m1v1=m1v1′+m2v2…③
    根据机械能守恒有：$\frac{1}{2}$m1v12=$\frac{1}{2}$m1v1′2+$\frac{1}{2}$m2v22：④
    解得：v2=$\frac{2}{1+k}$$\sqrt{2gh}$
    设2号、3号小球碰撞后的速度分别为v2′和v3，对于2、3号小球碰撞的过程，根据动量守恒定律有：
    m2v2=m2v2′+m3v3   
    根据机械能守恒有：$\frac{1}{2}$m2v22=$\frac{1}{2}$m2v2′2+$\frac{1}{2}$m3v32   
    同理可解得：3号小球被碰后的速度为：v3=（$\frac{2}{1+k}$）2$\sqrt{2gh}$
    由以上规律可推知5号小球被碰后的速度为：v5=（$\frac{2}{1+k}$）4$\sqrt{2gh}$…⑤
    解得：v5=4$\sqrt{2gh}$…⑥
    （3）5号小球绕钉子A做完整的圆周运动在最高点至少有：m5g=m5$\frac{v{′}^{2}}{r}$…⑦
    第5个小球从最底点运动到圆周的最高点根据机械能守恒，可知：
     m5gLsin30°+m5g（r+rsin30°）=$\frac{1}{2}{m}_{5}{v}_{5}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{5}{v}^{′2}$…⑧
    解得：r=$\frac{1}{4}$L…⑨
    所以有P≥$\frac{3}{4}$小球能绕A点做完整的圆周运动
    答：（1）1号小球与2号小球碰撞之前的速度v1的大小是$\sqrt{2gh}$；
    （2）第5个球被第4个小球碰后的速度是4$\sqrt{2gh}$；
    （3）P≥$\frac{3}{4}$小球能绕A点做完整的圆周运动．

    点评 本题是利用动量守恒和机械能守恒联合解决一维碰撞问题的典型例子，关键是把握弹性碰撞的规律：动量守恒定律和机械能守恒定律，通过列式得到碰后小球速度的通式，采用的是归纳法．

    练习册系列答案
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