Question

5．天宫一号、二号的成功发射以及与“神舟”飞船的交会对接为我国建立长期运行的空间站积累的宝贵的经验，加入我国的空间站进入运动轨道后，其运行周期为T，距地面的高度为h，已知地球半径为R，引力常量为G，若将天宫一号的运行轨道看作圆轨道，则地球的质量为$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$，地球的平均密度为$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$；一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在行星上，宇宙飞船上备有以下实验仪器：
A、弹簧秤一个
B、精确秒表一只
C、天平一台（附砝码一套）
D、物体一个
为测定该行星的质量M和半径R，宇航员在绕行及着陆后各进行一次测量，一句测量数据可以求出M和R（已知万有引力常量G）
（1）绕行时测量所用的仪器为B（用仪器的字母序号表示），所测物理量有周期T；
（2）着陆后测量所用的仪器为ACD（用仪器的字母序号表示），所测物理量有物体重量F和质量m，用测量数据求该星球质量M=$\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}G{m}^{3}}$，用测量数据求该星球半径R=$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$．

Answer 1

分析 天宫一号飞船绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由万有引力公式与牛顿第二定律求出地球的质量，然后应用密度公式求出地球的平均密度．
（1）（2）要测量行星的半径和质量，根据重力等于万有引力和万有引力等于向心力，列式求解会发现需要测量出行星表面的重力加速度和行星表面卫星的公转周期，从而需要选择相应器材．

解答 解：天宫一号飞船绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，
由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+h），解得，地球质量：M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$，
地球的平均密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$；
（1）行星表面的物体受到的重力等于万有引力，即：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
飞船绕行星做圆周运动，万有引力提供向心力，
由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，
解得：R=$\frac{g{T}^{2}}{4{π}^{2}}$----①
M=$\frac{{g}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}G}$-----②
由牛顿第二定律：F=mg------③
因而需要用秒表测量绕行时周期T，用天平测量质量m，用弹簧秤测量重力F；
（2）着陆后测量所用的仪器为ACD，所测物理量为物体重量F和质量m．
由②③得：M=$\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}G{m}^{3}}$，由①③得R=$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$；
故答案为：$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$；$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$；
（1）B，周期T；（2）ACD，物体重量F和质量m．$\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{16{π}^{4}G{m}^{3}}$；$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题；
（1）（2）的解题关键是：先要弄清实验原理，再根据实验原理选择器材，计算结果．