Question

【题目】所谓暗物质是指宇宙中那些既不发光也不反光，因而无法看到的物质，不过暗物质与通常物质都遵循万有引力定律，天文观测有迹象表明，暗物质的质量可能占宇宙总质量的90%至99%．如果能用磁谱仪探测到暗物质，从而进一步测出宇宙中物质的总平均密度，那么，我们就能根据下面叙述的原理预言宇宙膨胀的前景．

宇宙的膨胀现象是在20世纪30年代由哈勃等科学家发现的，它是指观察者在宇宙中的任何一个星系（例如O）上向任何一方向看去，会看到所有其他的星系（例如P）都在远离自己，其速度v与距离R成正比，即，如图b所示比例系数H叫哈勃常量，单位为千米/（秒·光年）．

①如果认为宇宙是均匀的各向同性的，其物质密度为，那么质量为m的星系P在远离观察者O时，所受到的宇宙所有其他物质（包括图b球面内、外两部分）对它的总引力是多少？

②如果质量为m的星系P相对于O点的引力势能（其中M为图b中球面内物质的质量），星系P的总能量E等于其动能与引力势能之和，以证明恰使E=0的宇宙物质密度．

③试说明，通过比较现在宇宙的物质密度与上述密度的大小即可预言宇宙膨胀前景：或永远膨胀下去，或在将来的某一时刻停止膨胀，转而变为收缩．

Answer 1

【答案】① ②证明见解析 ③ 说明见解析

【解析】

①半径为R的球面内所有物质的质量为，对P的万有引力．而球外的所有物质可以看作是无数多个空心物质壳的总合，每一个密度均匀的空心球壳对其内的任一质点的引力为零，故该球面外所有物质对P的引力．综合以上两部分，可知宇宙中所有物质对P的总引力．

②因，可以看出，星系P的行为跟地球表面上抛物体的行为类似，当初动能完全转化为引力势能时，总能量E=0，即：，将代入，可解得

③当时，，则，因M恒定，说明星系P虽随R增大在减速，但星系间距离R的增大并无上限，即宇宙将永远膨胀下去。当时，，则有（c为光速），由此可知．星系间距高达最大值时，宇宙膨胀停止，开始转为收缩。