Question

质量为m的带电小球，从固定在地面上的半径为R的光滑半圆轨道顶处由静止开始沿逆时针方向滑下．
（1）若整个装置处于磁感强度为B、方向垂直轨道平面向里的匀强磁场中，如图所示，且小球始终未离开轨道表面，小球应带何种电荷？电量至少多少？
（2）如果去掉磁场，而其它条件不变，小球会在什么地方离开轨道？

Answer 1

分析：（1）分析小球的受力：重力、支持力，洛仑兹力，只有重力做功，其机械能守恒．小球在轨道最低点最容易离开轨道表面，由题意小球始终未离开轨道表面，在最低点由洛伦兹力的支持力的合力提供向心力，当支持力N=0时，洛伦兹力最小，电量最小．由机械能守恒和牛顿第二定律求解．
（2）如果去掉磁场，小球在到达最低点前离开轨道，刚离开时轨道的支持力为零，由重力沿半径方向的分力提供向心力，根据牛顿第二定律和机械能守恒结合求小球与轨道球心连线和竖直方向的夹角．

解答：解：（1）小球沿半球表面滑下至最低点的过程受重力、支持力，洛仑兹力这三个力的作用，但只有重力做功，机械能守恒，则有  
  mgR=

1

2

mv²
设小球下滑至最低点时的速度为v，则：v=

2gR

  ①
在最低点有：QvB-N=m

v2

R

由①知小球在最低点的速度v是一定的，要使Q最小，则必须N=0，设此时的油滴电量为Q₀，即 Q₀vB=m

v2

R

  ②
联解①、②得带电量至少为 Q₀=

m 2gR

BR

，
由左手定则判断知：小球带正电．
（2）设小球在与过圆心的竖直半径成θ角处离开球面，此刻速度为v₁
则在此处有：mgcosθ-N=m

v 2 1

R

  ①
小球在离开球面处有  N=0  ②
又据机械能守恒定律：mgR（1-cosθ）=

1

2

m

v

2 1

  ③
联解①②③得：cosθ=

2

3

即：θ=arccos

2

3

         
当小球滑至与球心连线与竖直方向成cos^-1

2

3

角的位置时离开轨道．
答：
（1）小球带正电，电量至少

m 2gR

BR

，
（2）如果去掉磁场，而其它条件不变，当小球滑至与球心连线与竖直方向成cos^-1

2

3

角的位置时离开轨道．

点评：本题的解题关键是确定临界条件：当小球刚离开轨道时，支持力为零，再根据牛顿第二定律、机械能守恒和向心力进行求解．