Question

18．如图所示，竖直固定的内壁光滑的半圆弯管与水平管和光滑水平地面相切，管的半径为R，小球A、B由轻弹簧相连，质量均为2m，开始时，A球靠在墙边，A、B处于静止状态，小球C的质量为m，现C以某一初速度由水平管进入弯管，然后，与B正碰，碰后速度相同，但不粘连，最后，C球恰能返回水平管道．求：
（1）C球初速度v₀；
（2）A离开墙后弹簧的最大弹性势能（此时B球没有进入弯管）．

Answer 1

分析 （1）先根据机械能守恒定律求出C球下滑到地面与B碰撞前的速度．B、C碰撞过程遵守动量守恒定律，由此定律求出碰后两者共同速度．当BC被弹簧反弹时，C球的速度与BC碰撞后的瞬时速度大小相等，当C球恰能返回水平管道时速度为零，再对C，运用机械能守恒定律列式，联立可求得C球初速度v₀；
（2）A离开墙后，当AB速度相同时，弹簧的形变量，弹簧的弹性势能最大，由系统的动量守恒和机械能守恒分别列式，即可求解，

解答 解：（1）设C球下滑至弯管底端时的速度大小为v．B与C碰撞后共同速度大小为v′．根据机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$…①
B与C碰撞过程，取向左为正方向，根据动量守恒定律得：
mv=（m+2m）v′…②
BC被弹簧反弹时速度大小也为v′，方向向右．
对C球冲上弯管的过程，据题：C球恰能返回水平管道时速度为零，则由机械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$=mg•2R…③
由①②③联立解得：v₀=4$\sqrt{2gR}$…④
（2）A离开墙后，A、B系统的动量守恒，当两者速度相同时，弹簧的弹性势能最大，设A、B相同的速度为v₁．取向右为正方向，根据动量守恒定律和机械能守恒定律得：
2mv′=（2m+2m）v₁；
$\frac{1}{2}$•2mv′²=E_p+$\frac{1}{2}$（2m+2m）v₁²；
联立解得弹簧的最大弹性势能为：E_p=2mgR
答：（1）C球初速度v₀是4$\sqrt{2gR}$．
（2）A离开墙后弹簧的最大弹性势能是2mgR．

点评 本题关键是明确三个小球的运动情况，知道C球刚好返回水平管道时临界速度为零．分析清楚A、B两球的速度相同时弹簧的弹性势能达到最大，由动量守恒定律和机械能守恒定律结合研究．