Question

2．如图所示，质量为m、自然长度为2πa、劲度系数为k的弹性圈，水平置于半径为R的固定刚性球上，不计摩擦，且a=$\frac{R}{2}$．
（1）设平衡时圈长为2πb，且b=$\sqrt{2}$a，试求k的值．
（2）若k=$\frac{mg}{2{π}^{2}R}$，求弹性圈的平衡位置及长度．

Answer 1

分析 （1）在弹性绳上取一微元，得出这一微元的质量以及该微元受到弹性绳两端拉力的合力，对该微元受力分析，根据共点力平衡求出弹力的大小，结合胡克定律求出弹性绳的劲度系数；
（2）同理可以求出弹性圈的平衡位置及长度．

解答 解：（1）在弹性绳上取一小段微元△m，该微元所对应的圆心角为△θ，微元△m的长度为b△θ，则$△m=\frac{m}{2πb}b△θ=\frac{m}{2π}△θ$   ①，
微元两端受到弹性绳的合力为$2F•\frac{△θ}{2}$  ②．
x=2π（b-a），
开始时，a=$\frac{R}{2}$，b=$\sqrt{2}a=\frac{\sqrt{2}R}{2}$，根据几何关系知，支持力与水平方向的夹角为45°，
根据共点力平衡有：$2F\frac{△θ}{2}=△mg=\frac{mg}{2π}△θ$，③
解得弹性绳的弹力F=$\frac{mg}{2π}$    ④
根据胡克定律得，F=kx=k•2π（b-a）  ⑤
联立个方程解得k=$\frac{\sqrt{2}+1}{2{π}^{2}}（\frac{mg}{R}）$．
（2）若k=$\frac{mg}{2{π}^{2}R}$，设弹性圈的长度是2πc，由几何关系可知，弹性圈的位置与球心的连线与水平方向之间的夹角：
$cosα=\frac{c}{R}$ 
则：$tanα=\frac{sinα}{cosα}=\frac{\sqrt{{R}^{2}-{c}^{2}}}{c}$   ⑥
则结合公式①②⑤可得：$2k•2π（c-a）•\frac{△θ}{2}=\frac{m}{2π}△θ•g•\frac{1}{tanα}$    ⑦
将k与⑥代入⑦，得：$\frac{c-a}{R}=\frac{1}{2tanα}$=$\frac{c}{2\sqrt{{R}^{2}-{c}^{2}}}$
解得：α=60°，c=$\frac{\sqrt{3}}{2}R$，故周长为$\sqrt{3}πR$．
答：（1）弹性绳的劲度系数为$\frac{\sqrt{2}+1}{2{π}^{2}}（\frac{mg}{R}）$．
（2）弹性圈的平衡位置与圆心连线与水平方向夹角为60°，长度为$\sqrt{3}πR$．

点评 本题考查了共点力平衡和胡克定律的综合运用，难度较大，难点在于通过微元法进行求解，需注意该微元两端都受到弹性绳的弹力，本题对数学几何能力的要求也较高．