Question

如图a所示的平面坐标系xOy，在整个区域内充满了匀强磁场，磁场方向垂直坐标平面，磁感应强度B随时间变化的关系如图b所示，开始时刻，磁场方向垂直纸面向里(如图)。t=0时刻，有一带正电的粒子(不计重力)从坐标原点O沿x轴正向进入磁场，初速度为v₀=2´10³m/s。已知正粒子的比荷为1.0´10⁴C/kg，其它有关数据见图中标示（磁感应强度B取垂直纸面向里为正）。试求：

(1)t=´10^-4s时刻，粒子的坐标。

(2)粒子从开始时刻起经多长时间第一次到达y轴。

(3)粒子是否还可以返回坐标原点O？如果可以，则经多长时间第一次返回坐标原点O？

Answer 1

(1)粒子进入磁场后在磁场中作圆周运动，设半径为R，周期为T，由洛仑兹力提供向心力，有qvB= 得：R===0.4m……2分　 又T====4p?10^-4s……2分

在磁场变化的第一段时间内，粒子运动的周期数为: N==(个运动周期)运动轨迹对应的圆心角为120°，作出粒子在磁场中运动的轨迹如图所示。第一段时间末，粒子的坐标为：

x=Rcos30°=0.2m,　 y=R+sin30°=0.6m

所求时刻，粒子的坐标(0.2m，0.6m) ……2分

(2)根据第(1)问可知，粒子在第一个磁场变化的时间段内时，运动了N₁=个周期，在第二个时间段内运动的周期数为N₂==(个周期) ……2分

所对应的运动轨迹圆心角为60°.运动轨迹如图所示。

第三个时间段内同样运动了：N₃==(个周期)，……2分

对应的圆心角为120°粒子运动轨迹如图，粒子恰好在第三段时间末通过y轴故运动时间为t=?10^-4s ……3分

(3)粒子在磁场中作周期性运动，根据对称性和周期性，画出粒子的部分运动轨迹如图，其中O₂、O₆、O₁₀构成一个正三边形。

故粒子在磁场中一共运动了6个大圆弧和6个小圆弧，故从原点出发到回到原点的总时间为t'=6??10^-4s+6??10^-4s=12p?10^-4s ……6分