Question

13．某段路面分为水平和倾斜两部分，斜面部分倾角为30°、高为h，从顶端将一个小球以一定初速度沿水平方向抛出，如图所示．设小球落回路面时位移与水平方向的夹角为α，速度与水平方向的夹角为β，运动时间为t，下列判断中正确的是（　　）

• A． 初速度小于$\sqrt{\frac{3}{2}gh}$时，运动时间为定值
• B． 初速度大于$\sqrt{\frac{3}{2}gh}$时，运动时间为定值
• C． 无论初速度取何值，α、β均满足β=2α
• D． 无论初速度取何值，α、β均满足tanβ=2tanα

Answer 1

分析 根据高度求出平抛运动的时间，结合水平位移和时间求出小球落在斜面底端时的初速度，从而判断出小球是否落在斜面上，确定时间是否为定值．根据运动学公式，分别求出速度方向与水平方向夹角的正切值以及位移方向与水平方向夹角的正切值，从而得出它们的关系．

解答 解：根据h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，小球落在斜面底端的初速度${v}_{0}=\frac{hcot30°}{t}$=$\sqrt{\frac{3gh}{2}}$．
A、当初速度小于$\sqrt{\frac{3}{2}gh}$时，小球落在斜面上，高度不同，运动时间不同，故A错误．
B、当初速度大于$\sqrt{\frac{3}{2}gh}$时，小球落在水平面上，高度相同，运动时间相同，为定值，故B正确．
C、根据$tanα=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$，$tanβ=\frac{gt}{{v}_{0}}$知，tanβ=2tanα，与初速度无关，故C错误，D正确．
故选：BD．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合运动学公式灵活求解，难度不大．