Question

18．如图所示，倾角α=30°的直角三角形底边长为2l，底边处在水平位置，斜边为光滑绝缘导轨．现在底边中点O处固定一正电荷Q，让一个质量为m，电量为q的带负电的质点从斜面顶端A沿斜边滑下，滑到斜边的垂足D时速度为v．试求：
（1）质点滑到D点时的加速度
（2）质点滑到C点时的速率．

Answer 1

分析 （1）在直角三角形底边中点O处放置一正电荷Q，OC=OD，根据受力分析与牛顿第二定律即可求出加速度；
（2）则知C、D的电势相等．根据电势的变化，利用推论：负电荷在电势高处电势能小，判断电势能的变化，由根据总功分析动能的变化．由能量守恒定律分析动能、重力势能之和的变化和C点的速率．

解答 解：（1）由图可知，$OD=OB=\frac{1}{2}BC=l$
质点在D点受到重力、电场力和支持力的作用，受力如图：
沿斜面方向：ma=mgsin30°-$\frac{kqQ}{{l}^{2}}$cos30°
整理得：$a=gsinα+\frac{\sqrt{3}kQq}{2m{l}^{2}}$，方向平行于斜面向下
（2）因OD=OC，则正电荷Q在D、C两点的电势相等，故：U_AD=U_AC，由W=qU知，W_AC=W_AD．
在质点从D到C两点得过程中，电场力做功的总和为0，所以只有重力做功，由动能定理有：
$mg•\sqrt{3}l•sin30°=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：${v}_{C}=\sqrt{{v}^{2}+\sqrt{3}gl}$
答：（1）质点滑到D点时的加速度是$gsinα+\frac{\sqrt{3}kQq}{2m{l}^{2}}$方向平行于斜面向下
（2）质点滑到C点时的速率是$\sqrt{{v}^{2}+\sqrt{3}gl}$．

点评 本题要抓住点电荷等势面分布特点，知道D、C两点的电势相等是分析的关键，根据功能关系进行分析．