Question

如图所示，固定在地面上的光滑圆弧轨道AB、EF，他们的圆心角均为90°，半径均为R．一质量为m，上表面长也为R的小车静止在光滑水平面CD上，小车上表面与轨道AB、EF的末端B、E相切．一质量为m的物体（大小不计）从轨道AB的A点由静止下滑，由末端B滑上小车，小车在摩擦力的作用下向右运动．当小车右端与壁DE刚接触时，物体m恰好滑动到小车右端且与小车共速．小车与DE相碰后立即停止运动但不粘连，物体则继续滑上圆弧轨道EF，以后又滑下来冲上小车．求：

（1）物体从A点滑到B点时的速率；
（2）物体与小车之间的滑动摩擦力；
（3）水平面CD的长度；
（4）当物体再从轨道EF滑下并滑上小车后，如果小车与壁BC相碰后速度也立即变为零，最后物体m停在小车上的Q点，则Q点距小车右端的距离．

Answer 1

分析：（1）根据机械能守恒定律求出物体从A点滑到B点时的速率；
（2）根据动量守恒定律求出物体滑上小车后的共同速度．对物体和小车组成的系统，运用能量守恒定律列式求解物体与小车之间的滑动摩擦力；
（3）对物体运用动能定理，联立求出水平面CD的长度．
（4）根据动量守恒定律求出AB的共同速度，对系统运用能量守恒定律求出两者速度相同时，之间的相对距离，小车停止后，物体做匀减速直线运动，再根据动能定理求出匀减速直线运动的位移，从而得出最终物体在小车上滑行的距离．

解答：解：（1）由机械能守恒定律得：mgR=

1

2

mv2
 解得：v=

2gR

（2）由动量守恒定律得：mv=2mv_共
  f?R=

1

2

mv2-

1

2

?2m

v

2 共

 解得：f=

1

2

mg
（3）对物体：-f?xCD=

1

2

m

v

2 共

-

1

2

mv2
（或对小车列式：f?(xCD-R)=

1

2

m

v

2 共

-0）
解得：xCD=

3

2

R
（4）物体从EF滑下后与车共速的速度为v′_共，产生的相对位移为s₁：
 mv_共=2mv′_共
f?s1=

1

2

m

v

2 共

-

1

2

?2mv

′

2 共

s1=

1

4

R
车撞BC后，物体做匀减速运动的位移为s₂：
对物体：-f?s2=0-

1

2

mv

′

2 共

s2=

1

8

R
Q点距小车右端的距离s=

1

4

R+

1

8

R=

3

8

R
答：（1）物体从A点滑到B点时的速率为

2gR

；
（2）物体与小车之间的滑动摩擦力为

1

2

mg；
（3）水平面CD的长度为

3

2

R；
（4）Q点距小车右端的距离为

3

8

R．

点评：本题综合考查了动量守恒定律、能量守恒定律、机械能守恒定律、动能定理，综合性较强，涉及的过程较多，关键是合理地选择研究对象和研究过程，选择合适的规律进行求解．