Question

3．在桌面上有一个倒立的玻璃圆锥，其顶点恰好与桌面接触，圆锥的轴（图中虚线）与桌面垂直，过轴线的截面为等边三角形，如图所示，有一半径为r的圆柱形平行光束垂直入射到圆锥的底面上，光束的中心轴与圆锥的轴重合，已知玻璃的折射率为n=$\sqrt{3}$，则：
（1）通过计算说明光线1能不能在圆锥的侧面B点发生全反射？
（2）光束在桌面上形成的光斑半径为多少？

Answer 1

分析 （1）当半径为r的圆柱形平行光束垂直入射到圆锥的地面上，经过第一次折射时，由于入射角等于零，所以折射角也是零，因此折射光线不发生偏折．当第二次折射时，由于入射角等于60°，而玻璃的折射率为n=$\sqrt{3}$，可得入射角与临界角的大小，所以会发生光的全反射．
（2）可根据几何关系可确定光束在桌面上形成的光斑半径．

解答 解：（1）设玻璃圆锥的临界角为C，则由sinC=$\frac{1}{n}$得：
  C=arcsin$\frac{1}{n}$=arcsin $\frac{1}{\sqrt{3}}$=arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$
而arcsin$\frac{\sqrt{3}}{2}$=60°
所以C＜60°
根据几何知识可知，光线在B点的入射角为60°，大于临界角C，所以光线1能在圆锥的侧面B点发生全反射．
（2）此时光线在第一界面上发生全反射后垂直射在相对一侧的界面上，直线射出．
由几何关系知：rtan60°=（R+r）tan30°
则光束在桌面上形成的光斑半径为 R=2r
答：
（1）光线1能在圆锥的侧面B点发生全反射．
（2）光束在桌面上形成的光斑半径为2r．

点评 本题关键之处是借助于光的折射与反射定律作出光路图，同时利用几何关系来辅助计算．