Question

19．AB是竖直平面内的四分之一圆弧轨道，其末端水平，且与水平地面间的竖直高度差为h，如图所示．一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑．已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，不计一切阻力与摩擦．求
（1）小球运动到B点时的速度大小；
（2）小球经过圆弧轨道的末端B点时所受轨道支持力N_B是多大？
（3）小球落地点距圆弧轨道末端的水平距离x．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律或动能定理，求解小球通过B点的速度．
（2）小球通过B点时，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球通过B点时支持力的大小．
（3）小球离开B点后做平抛运动，由平抛运动的规律求解水平距离x．

解答 解：（1）小球从A到B，只有重力做功，机械能守恒，则得：
mgR=$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$
解得：${v}_{B}=\sqrt{2gR}$
（2）小球通过B点时，由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律知：${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$
解得：F_N=3mg
（3）物块从B点到C点做平抛运动，则有：
竖直方向：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向 x=v_Bt 
联立得：$x={v}_{B}\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{2gR}×\sqrt{\frac{2h}{g}}=2\sqrt{Rh}$
答：（1）小球运动到B点时的速度大小为$\sqrt{2gR}$；
（2）小球经过圆弧轨道的末端B点时所受轨道支持力N_B是3mg；
（3）小球落地点距圆弧轨道末端的水平距离x为2$\sqrt{Rh}$．

点评 本题是圆周运动和平抛运动的综合，关键是明确每个过程中小球的运动规律，在圆周运动过程中，根据机械能守恒或动能定理求速度，再根据牛顿第二定律求力是基本方法，对于平抛运动，要掌握运动的分解法和运动学基本公式．