Question

4．如图所示，半径为R的半圆形轨道竖直固定在水平桌面上，圆心O与轨道上边沿和滑轮上边沿在同一水平线上，轨道最低点a与桌面相切．Oc与Oa的夹角为60°，A、B两球用跨过滑轮的轻绳连接（两球均可视为质点）．A球从c点由静止释放后沿圆轨道滑到a点时速度恰好为零．设轻绳足够长，不计一切摩擦，在此过程中下列说法正确的是（　　）

• A． 重力对A球做功的功率先变大后变小
• B． 两球速度大小始终相等
• C． 绳上的拉力始终大于B球重力
• D． A、B两小球的质量之比为3：1

Answer 1

分析 A、B两个小球用绳子连在一起，两球沿绳子方向的速度是一样的，但两球速度不相同，要利用运动的合成和分解求出两球速度的关系；若A恰好能沿圆弧轨道下滑到a点，此时两小球速度均为零，根据动能定理求解质量关系．

解答 解：设A、B两球质量分别为m_A和m_B，
A、重力对A球做功的功率P_A=m_Agv_y，这里的v_y是指A的竖直分速度，A由静止释放，所以A一开始的竖直速度也必然为零，最后运动到a点的时候，
由于此时的切线是水平的，所以此时的竖直速度也是零，但是在这个过程当中是有竖直分速度的，竖直速度是从无到有再到无的变化过程，
也就是一个先变大后变小的过程，所以重力做功的功率也是先增大后减小的过程，故A正确；
B、A由c点下滑到a的过程中，沿绳子方向的速度是一样的，在A滑下去一段过程以后，此时的绳子与圆的切线是不重合，而是类似于圆的一根弦线而存在，将A的速度正交分解为沿绳方向使绳伸长的分速度和垂直绳方向使绳发生偏转的分速度，所以A的速度大小大于A沿绳子方向伸长的分速度大小，又因为一根绳沿绳的速度大小相等，所以B的速度大小等于A沿绳子方向伸长的分速度的大小，则A的速率大于B速率，故B错误；
C、两个小球的速度都是先增大后减小，当B向上的速度增大时，加速度的方向向上，绳上的拉力大于B球重力；而当B向上减速时，加速度的方向向下，绳上的拉力小于B球重力．故C错误；
D、根据余弦定理知，c点到轨道的上沿的距离，即弦长为$\sqrt{{R}^{2}+{R}^{2}-2{R}^{2}cos30°}$=$\sqrt{2-\sqrt{3}}R$，若A恰好能沿圆弧轨道下滑到a点，此时两小球速度均为零，
由动能定理得：m_Ag$\frac{R}{2}$-m_Bg（$\sqrt{2}$-$\sqrt{2-\sqrt{3}}$）R=0-0，解得：m_A=（2$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2-\sqrt{3}}$）m_B，故D错误．
故选：A．

点评 本题考查动能定理的综合运用，解题的关键是对两个小球运动情况的分析，知道小球做什么运动，并能结合运动的合成和分解，将球A的速度正交分解，找到两球速度关系，利用动能定理、几何关系解题，难度适中．