Question

17．如图，与水平面成37°倾斜轨道AB，其延长线在C点与半圆轨道CD（轨道半径R=1m）相切，全部轨道为绝缘材料制成且位于竖直面内．整个空间存在水平向左的匀强电场，MN的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场．一个质量为0.4kg的带电小球沿斜面下滑，至B点时速度为v_B=$\frac{100}{7}$m/s，接着沿直线BC（此处无轨道）运动到达C处进入半圆轨道，进入时无动能损失，且刚好到达D点．（不计空气阻力，g=10m/s²，cos37°=0.8）求：
（1）小球带何种电荷．
（2）小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功．
（3）设小球从D点飞出时磁场消失，求小球离开D点后的运动轨迹与直线AC的交点到C点的距离．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在只有电场的倾斜轨道上做匀加速运动后，进入电场与磁场混合的场中做匀速直线运动，重力、洛伦兹力与电场力处于平衡状态，接着沿半圆轨道运动刚好能达到D点，最后从D点做类平抛运动，此时所受到的合力正好与速度相互垂直．因此由电场力与电场强度方向可确定小球所带电性．
（2）小球在BC间做匀速直线运动．根据平衡条件和洛伦兹力公式F=qv_CB求出qB．在D处，轨道对小球没有作用力，由电场力与重力的合力充当向心力，由牛顿第二定律和向心力公式列式，可求得D点的速度．小球在半圆轨道上过程，运用运动定理可得克服摩擦力做功多少．
（3）小球离开D点后作类平抛运动，由牛顿第二定律求出加速度，利用平抛运动分位移规律求解即可．

解答 解：（1）小球从B运动到C做直线运动，受力如图，电场力方向与电场强度方向相同，则小球带正电荷．
（2）依题意可知小球在BC间做匀速直线运动．在C点的速度为：
v_C=v_B=$\frac{100}{7}$m/s
在BC段其受力如图所示，设重力和电场力合力为F．
  F=qv_CB  
又：F=$\frac{mg}{cos37°}$=5N
解得：qB=$\frac{F}{{v}_{C}}$=$\frac{7}{20}$
在D处由牛顿第二定律可得：Bv_Dq+F=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
将qB=$\frac{7}{20}$代入上式并化简得：8${v}_{D}^{2}$-7v_D-100=0
解得：v_D=4m/s，v_D′=-$\frac{25}{8}$m/s（舍去）
小球在CD段克服摩擦力做功W_f，由动能定理可得：
-W_f-2FR=$\frac{1}{2}m（{v}_{D}^{2}-{v}_{C}^{2}）$ 
解得：W_f=27.6J    
（3）小球离开D点后作类平抛运动，其加速度为：a=$\frac{F}{m}$   
由2R=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
得：t=$\sqrt{\frac{4mR}{F}}$=0.4$\sqrt{2}$s
交点与C点的距离：s=v_Dt=2.26m
答：（1）小球带正电荷．
（2）小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功是27.6J．
（3）小球离开D点后的运动轨迹与直线AC的交点到C点的距离是2.26m．

点评 本题要通过分析小球的运动情况，确定其受力情况．小球从D点飞出后，正好受到重力与电场力且这两个力的合力与速度垂直，所以刚好做类平抛运动．因此可以将倾斜轨道等效看成水平面，相当于小球做平抛运动，从而可以运用平抛运动规律来处理．