Question

6．如图甲所示，A、B两板间距为$\frac{L}{2}$，板间电势差为U，C、D两板间距离和板长均为L，两板间加一如图乙所示的电压．在S处有一个初速度为0，电荷量为q、质量为m的带电粒子，经A、B间电场加速，又恰好经C、D间还没有变化的电场偏转后，进入一个垂直纸面向里的匀强磁场区域，磁感强度为B．不计重力影响，欲使该带电粒子经过某路径后能返回S处．且自该带电粒子从S处进入到返回S处所需要的时间恰好与C、D间电场变化的周期相同．求：
（1）匀强磁场的宽度L′至少为多少？
（2）C、D两极板间所加电压的周期T．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电场AB中做加速运动，由动能定理即可求解速度，偏转阶段，带电粒子作类平抛运动，根据平抛运动的基本规律即可求解偏移量；
根据几何关系求出在电场中的偏转角，从而求出在磁场中做圆周运动的圆心角，根据洛伦兹力提供向心力结合几何关系即可求解B和L′；
（2）根据运动学基本公式求出加速电场和偏转电场中运动的时间，再根据圆周运动周期公式求出在磁场中的时间，从而求出总时间，即为该带电粒子周期性运动的周期．

解答 解：（1）AB加速阶段，由动能定理得：qU=$\frac{1}{2}{mv}^{2}$
解得：v=$\sqrt{\frac{2Uq}{m}}$   
偏转阶段，带电粒子作类平抛运动?
偏转时间${t}_{1}=\frac{L}{v}=L\sqrt{\frac{m}{2qU}}$
侧移量y=$\frac{1}{2}{{at}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{{{qU}_{2}L}^{2}}{mL}•\frac{m}{2qU}=\frac{L}{2}$；
设在偏转电场中，偏转角为θ?则tanθ=$\frac{{v}_{y}}{v}=\frac{{at}_{1}}{v}=\frac{{qU}_{2}}{mL}•\frac{L}{{v}^{2}}=1$  
即θ=45°
由几何关系：Rsin45°+R=L′
Rcos45°=$\frac{L}{2}$
解得R=$\frac{\sqrt{2}}{2}L=\frac{mv}{Bq}$
所以L′=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}L$；
（2）设粒子在加速电场中运动的时间为t₂，则${t}_{2}=\frac{\frac{L}{2}}{\frac{v}{2}}=L\sqrt{\frac{m}{2qU}}$
带电粒子在磁场中做圆周运动的周期?T′=$\frac{2πm}{Bq}$
实际转过的角度$α=2π-2θ=\frac{3π}{2}$、在磁场中运动时间${t}_{3}=\frac{3}{4}T′=\frac{3πm}{2qB}$
故粒子运动的周期T=2${t}_{1}+{2t}_{2}{+t}_{3}=4L\sqrt{\frac{m}{2qU}}$+$\frac{3πm}{2qB}$
答：（1）匀强磁场的宽度L′至少为$\frac{\sqrt{2}+1}{2}L$；
（2）该带电粒子周期性运动的周期T为$4L\sqrt{\frac{m}{2qU}}$+$\frac{3πm}{2qB}$

点评 本题考查带电粒子在电场、磁场中两运动模型：匀速圆周运动与类平抛运动，及相关的综合分析能力，以及空间想像的能力，应用数学知识解决物理问题的能力．