Question

3．如图所示，ABCD为固定在竖直平面内的轨道，AB段平直倾斜且粗糙，BC段是光滑圆弧，对应的圆心角θ=53°，半径为r，CD段平直粗糙，各段轨道均平滑连接，在D点右侧固定了一个$\frac{1}{4}$圆弧挡板MN，圆弧半径为R，圆弧的圆心也在D点．倾斜轨道所在区域有场强大小为E=$\frac{9mg}{5q}$、方向垂直于斜轨向下的匀强电场．一个质量为m、电荷量为q的带正电小物块（视为质点）在倾斜轨道上的A点由静止释放，最终从D点水平抛出并击中挡板．已知A、B之间的距离为2r，斜轨与小物块之间的动摩擦因素为μ=$\frac{1}{4}$，设小物块的电荷量保持不变，重力加速度为g，sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）小物块运动至圆轨道的C点时对轨道的压力大小；
（2）改变AB之间的距离和场强E的大小，使小物块每次都能从D点以不同的速度水平抛出并击中挡板的不同位置，求击中挡板时小物块动能的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求的到达B点的速度，从B到C根据机械能守恒求的到达C点速度，由牛顿第二定律求的作用力；
（2）小物块从D点做平抛运动，根据平抛运动的特点求的落到MN上的速度，即可表示出动能，根据数学知识即可求得最小值

解答 解：（1）小物块由A到B过程由动能定理，得：$mgsinθ•2r-μ（mgcosθ+qE）•2r=\frac{1}{2}m{v}_B^2$
解得：${{v}_B}=\sqrt{\frac{4}{5}gr}$
小物块由B到C过程由机械能守恒定律，得：$mgr（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v}_C^2-\frac{1}{2}m{v}_B^2$
解得：${{v}_C}=\sqrt{\frac{8}{5}gr}$
在C点由牛顿第二定律，得：$N-mg=m\frac{{{v}_C^2}}{r}$
解得：$N=\frac{13}{5}mg$
由牛顿第三定律可得小物块对圆轨道的压力：$N'=\frac{13}{5}mg$
（2）小物块离开D点后做平抛运动，得：
水平方向：x=v₀t
竖直方向：$y=\frac{1}{2}g{t^2}$
而：x²+y²=R²
小物块平抛过程机械能守恒，得：$mgy={E_k}-\frac{1}{2}m{v}_0^2$
由以上四式解得${E_k}=\frac{{mg{R^2}}}{4y}+\frac{3mgy}{4}$
由数学中的均值不等式可知：$E≥2\sqrt{\frac{{mg{R^2}}}{4y}•\frac{3mgy}{4}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}mgR$
故：小物块动能的最小值为：${E_{kmin}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}mgR$
答：（1）小物块运动至圆轨道的C点时对轨道的压力大小为$\frac{13}{5}mg$；
（2）改变AB之间的距离和场强E的大小，使小物块每次都能从D点以不同的速度水平抛出并击中挡板的不同位置，击中挡板时小物块动能的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}mgR$

点评 本题主要考查了动能定理、机械能守恒及运动学基本公式的直接应用，要求同学们能正确对物体受力分析，确定物体的运动情况，利用好数学知识求的最小值