Question

10．如图甲所示，质量为m、电荷量为q的粒子经加速电压U₁，加速后，在水平方向沿O₁O₂垂直进入偏转电场．已知形成偏转电场的平行板电容器的极板长为L，两极板间距为d，O₁O₂为两极板的中线，P是足够大的荧光屏，且屏与极板右边缘的距离为2L．不考虑电场边缘效应，不计粒子重力．求：
（1）粒子进入偏转电场的速度v的大小；
（2）若偏转电场两板间加恒定电压，电子经过偏转电场后正好打中屏上的A点，A点与极板M在同一水平线上，求偏转电场所加电压U₂；
（3）若偏转电场两板间的电压按如图乙所示作周期性变化，要使电子经加速电场后在t=0时刻进入偏转电场后水平击中A点，试确定偏转电场电压U₀以及周期T分别应该满足的条件．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出粒子进入偏转电场的速度v的大小．
（2）粒子出电场后反向速度的反向延长线经过偏转电场中轴线的中点，根据几何关系得出速度与水平方向的夹角，结合牛顿第二定律和运动学公式求出偏转电压的大小．
（3）要使电子在水平在水平方向击中A点，电子必向上极板偏转，且v_y=0，则电子应在t=0时刻进入偏转电场，且电子在偏转电场中运动的时间为整数个周期．抓住时间与周期的关系求出周期的通项表达式．根据运动的对称性，知粒子在一半时间内在竖直方向上的位移等于$\frac{d}{2}$，根据该关系求出偏转电压的通项表达式

解答 解：（1）电子经加速电场加速：eU₁=$\frac{1}{2}$mv²                    
解得：v=$\sqrt{\frac{2e{U}_{1}}{m}}$                                        
（2）由题意知，电子经偏转电场偏转后做匀速直线运动到达A点，设电子离开偏转电场时的偏转角为θ，则由几何关系得：$\frac{d}{2}$=（L+$\frac{1}{2}$）tanθ              
解得：tanθ=$\frac{d}{3L}$                                          
又tanθ=$\frac{{v}_{y}}{v}$=$\frac{\frac{e{U}_{2}}{md}•\frac{L}{v}}{v}=\frac{{U}_{2}L}{2{U}_{1}d}$                       
解得：U₂=$\frac{2{U}_{1}{d}^{2}}{3{L}^{2}}$                                        
（3）要使电子在水平在水平方向击中A点，电子必向上极板偏转，且v_y=0，则电子应在t=0时刻进入偏转电场，且电子在偏转电场中运动的时间为整数个周期，设电子从加速电场射出的速度为v₀，则
因为电子水平射出，则电子在偏转电场中的运动时间满足t=$\frac{L}{{v}_{0}}$=nT      
则T=$\frac{L}{n{v}_{0}}=\frac{L}{n\sqrt{\frac{2e{U}_{1}}{m}}}=\frac{L}{n}\sqrt{\frac{m}{2e{U}_{1}}}$（n=1，2，3，4…）        
在竖直方向位移应满足$\frac{d}{2}$=2n×$\frac{1}{2}$a（$\frac{T}{2}$）²=2n×$\frac{1}{2}•\frac{e{U}_{0}}{md}（\frac{T}{2}）^{2}$     
解得：${U}_{0}=\frac{4n{U}_{1}{d}^{2}}{{L}^{2}}$  （n=1，2，3，4…）
答：（1）粒子进入偏转电场的速度v的大小为$\sqrt{\frac{2e{U}_{1}}{m}}$．
（2）偏转电场所加电压U₂为$\frac{2{U}_{1}{d}^{2}}{3{L}^{2}}$．
（3）偏转电场电压U₀为$\frac{4n{U}_{1}{d}^{2}}{{L}^{2}}$（n=1，2，3，4…），周期T=$\frac{L}{n}\sqrt{\frac{m}{2e{U}_{1}}}$（n=1，2，3，4…）．

点评 本题是带电粒子先加速后偏转问题，电场中加速根据动能定理求解获得的速度、偏转电场中类平抛运动的研究方法是运动的分解和合成