Question

当物体从高空下落时，所受阻力会随物体速度的增大而增大，因此经过下落一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的收尾速度．研究发现，在相同环境条件下，球形物体的收尾速度仅与球的半径和质量有关．下表是某次研究的实验数据，g取10m/s²．

小球编号	A	B	C	D	E
小球的半径r（×10-2m）	0.5	0.5	1.5	2	2.5
小球的质量m（×10-3kg）	2	5	45	40	100
小球的收尾速度v（m/s）	16	40	40	20	32

（1）据表中的数据可以求出B球与C球在达到终极速度时所受阻力之比为f₁：f₂=

1：9

．
（2）根据表中的数据，可归纳出球型物体所受阻力f与球的速度大小及球的半径的关系为（写出有关字母表达式）

kvr²

，并可求出式中比例系数的数值和单位为

50Ns/m³

．
（3）现将C号和D号小球用轻质细线连接，若它们在下落时所受阻力与单独下落时的规律相同，让它们同时从足够高的同一高度下落，则它们的收尾速度大小为v=

27.2

m/s，并可判断出

C

球先落地．

Answer 1

分析：（1）小球达到收尾速度时，小球做匀速直线运动，阻力与重力二力平衡．由平衡条件得即可求出B球与C球在达到终极速度时所受阻力之比．
（2）由小球A、B、C、E的实验数据，归纳出小球收尾速度和小球质量、小球半径的定量关系：v=

2m

r2

．
（3）将C号和D号小球用细线连接后，求出它们的收尾速度，判断下落的先后顺序．

解答：解：（1）球在达到终极速度时为平衡状态，有
        f=mg                                           ①
则　　　f_B：f_C=m_B：m_C                                  ②
代入数据得　　　　f_B：f_C=1：9                          ③
（2）由表中A、B球的有关数据可得，阻力与速度成正比；即f∝v    ④
由表中B、C球有关数据可得，阻力与球的半径的平方成正比，即f∝r² ⑤
得　　　　　　　　　　f=kvr² ⑥
将E组数据代入解得   k=

100×10-3×10

(2.5×10-2)2×32

=50Ns/m³                         ⑦
（3）将C号和D号小球用细线连接后，其收尾速度应满足
   m_Cg+m_Dg=f_C+f_D                                  ⑧
即　　　　m_Cg+m_Dg=kv（r_C²+r_D²）                               ⑨
代入数据得　　v=

(45+40)×10-3×10

((0.015)2+(0.02)2)×50

=27.2m/s　                                      ⑩
比较C号和D号小球的质量和半径，可判断C球先落地．
故答案为：（1）1：9．
（2）kvr²，50Ns/m³．
（3）27.2，C．

点评：从表格数据归纳出收尾速度、质量、半径的定量关系是本题的关键，也是比较困难的．