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在如图(a)所示的正方形平面oabc内存在着垂直于该平面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B,已知正方形边长为L.一个质量为m、带电量为+q的粒子(不计重力)在t=0时刻平行于oc边从o点射入磁场中.
(1)若带电粒子从a点射出磁场,求带电粒子在磁场中运动的时间及初速度大小;
(2)若磁场的磁感应强度按如图(b)所示的规律变化,规定磁场向外的方向为正方向,磁感应强度的大小为B0,要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场,求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时的最大速度vm
(3)若磁场的磁感应强度按如图(b)所示的规律变化,规定磁场向外的方向为正方向,磁感应强度的大小为B0,假使带电粒子能从oa边界射出磁场,求磁感应强度B变化周期T的最小值;
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分析:(1)带电粒子在匀强磁场中由洛伦兹力提供向心力,做匀速圆周运动,从a点射出磁场时,运动半周,由牛顿定律和几何关系求解.
(2)由牛顿定律和圆周运动公式求出粒子圆周运动的周期.根据轨迹分析在磁场变化的半个周期内,粒子圆周运动偏转角度,确定磁场变化的周期与粒子圆周运动周期的关系,磁感应强度变化的周期T.根据对称性,粒子在磁场变化的一个周期内到达b点,其圆周运动的半径最大,速度最大.由几何知识求出最大的半径,再牛顿定律求出最大的速度.
(3)画出带电粒子恰好能从oa边界射出磁场时的轨迹,分析在磁场变化的半个周期内,根据几何知识确定粒子圆周运动偏转角度,研究磁场变化的周期与粒子圆周运动周期的关系求解.
解答:解:(1)若带电粒子从a点射出磁场,则做圆周运动的半径为r=
L
2

        带电粒子在磁场中运动的周期T0=
2πr
v
=
2πm
qB

        所需时间t=
T0
2
=
πm
qB

        又根据qv0B=m
v
2
0
r
       得v0=
qBL
2m

    (2)若使粒子从b点沿着ab方向射出磁场,轨迹如图.精英家教网
   在磁场变化的半个周期内,粒子在磁场中旋转的角度为90°,
       即
T
2
=
T0
4

   则磁场变化的周期为T=
πm
qB0

   由几何关系知圆弧半径为r=
L
2

   又由qvmB0=m
v
2
m
r

        得vm=
qB0L
2m

(3)要使粒子从oa边射出,其临界状态轨迹如图所示精英家教网
   则有sinα=
1
2
,α=30°
   在磁场变化的半个周期内,粒子在磁场中旋转150°角,
   运动时间t=
5
12
T0
=
5πm
6qB0

     而又t=
T
2

   故磁场变化的最小周期为T=
5πm
3qB0

答:(1)若带电粒子从a点射出磁场,带电粒子在磁场中运动的时间为
πm
qB
,初速度大小为
qBL
2m

    (2)磁感应强度变化的周期T为
πm
qB0
,粒子射入磁场时的最大速度vm
qB0L
2m

    (3)磁感应强度B变化周期T的最小值为
5πm
3qB0
点评:本题解题的关键在于画出粒子运动轨迹,分析粒子圆周运动周期与磁场变化周期的关系.粒子圆周运动的时间往往根据轨迹的圆心角与周期的关系确定,t=
θ
T
,θ为圆心角.
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(1)若带电粒子从a点射出磁场,求带电粒子在磁场中运动的时间及初速度大小;
(2)若磁场的磁感应强度按如图(b)所示的规律变化,规定磁场向外的方向为正方向,磁感应强度的大小为B0,假使带电粒子能从oa边界射出磁场,求磁感应强度B变化周期T的最小值;
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