Question

9．侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道运行，它的运行轨道距地面高度为h，已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球的自转周期为T，求：
（1）地球的质量？
（2）侦察卫星运行的周期？
（3）要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力求出地球的质量．
（2）根据万有引力提供向心力，结合轨道半径求出侦察卫星的运行周期．
（3）根据卫星的周期求出一天内经过赤道的次数，结合卫星经过赤道上空的次数，求出卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长．

解答 解：（1）由题意可知在忽略地球自转的情况下有$G\frac{Mm}{R^2}=mg$    ①
解得$M=\frac{{g{R^2}}}{G}$    ②
（2）由侦察卫星绕地球作匀速圆周运动，由F_万=F_向
得$G\frac{Mm}{{{{（{R+h}）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{{{T^'}^2}}（R+h）$     ③
由①③联立解得$T'=2π\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{{g{R^2}}}}$     ④
（3）由题可知卫星一天内经过赤道的次数为n，则
n=$\frac{T}{T'}$     ⑤
所以，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长为L
L=$\frac{2πR}{n}$    ⑥
由④⑤⑥联立可解得L=$\frac{{4{π^2}}}{T}\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{g}}$
答：（1）地球的质量为$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）侦察卫星运行的周期为$2π\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g}}$；
（3）卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是$\frac{{4{π^2}}}{T}\sqrt{\frac{{{{（R+h）}^3}}}{g}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力，并能灵活运用．