Question

8．如图所示，半径为r、圆心为O₁的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，在磁场右侧有竖直放置的平行金属板M和N，两板间距离为L，在M、N板中央各有一个小孔0₂、O₃，O₁，O₂，O₃在同一水平直线上，与平行金属板相接的是两条竖直放置间距为L的足够长的光滑金属导轨，导体棒PQ与导轨接触良好，与阻值为R的电阻形成闭合回路（导轨与导体棒的电阻不计），该回路处在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，整个装置处在真空室中，有一束电荷量为+q、质量为m的粒子流（不计重力及粒子间相互作用），以速率v₀从圆形磁场边界上点E沿半径方向射入圆形磁场区域，最后从小孔O₃射出．∠EO₁O₂=120°．现释放导体棒PQ，其下滑h后开始匀速运动，此后从E点射入的粒子恰好不能从O₃射出，而从圆形磁场的F点射出，已知∠FO₁O₂=120°求：
（1）棒下落h的整个过程中，电阻上产生的电热．
（2）粒子从E点到F点所用的时间．

Answer 1

分析 （1）粒子恰好不能从O₃射出时，到达O₃速度为零．根据动能定理求出此时板间电压，由平衡条件求出质量M．能量守恒定律求得电阻上产生的电热．
（2）粒子从E射入圆形磁场区域，从小孔O₃射出，在磁场中做匀速圆周运动，由几何知识求出半径，再由牛顿定律求出B．根据轨迹，逐段求出时间，再求总时间．

解答 解：（1）设PQ棒匀速下滑时棒的速度为v，此时MN板间的电压为U，由题意有：
    $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=qU     
    解得U=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$   
    由力平衡得    Mg=B$\frac{U}{R}L$      
    解得M=$\frac{BLm}{2gqR}{v}_{0}^{2}$  
 MN之间的电压：U=E=BLv     
   由能量守恒：Mgh=$\frac{1}{2}$Mv²+Q_R     
   联立上述方程解得产生的电热：Q_R=$\frac{BLmh}{2qR}{v}_{0}^{2}$-$\frac{{m}^{3}{v}_{0}^{6}}{16gBLR{q}^{3}}$           
（2）粒子由E到O₂过程中作半径为r的匀速圆周运动，∠EO₁O₂=120°则粒子的偏转角为60°，粒子运动的半径：$R=\frac{r}{tan30°}=\sqrt{3}r$
    qvB=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
    解得B′=$\frac{m{v}_{0}}{\sqrt{3}qr}$
粒子后来从O₃返回O₂，进入磁场后在偏转60°从F点射出． 设粒子在圆形磁场内的运动时间t₁：t₁=$\frac{T}{6}+\frac{T}{6}$
周期：$T=\frac{2πR}{qB′}$
整理得：${t}_{1}=\frac{2\sqrt{3}πr}{3{v}_{0}}$

 粒子在电场中往返运动的时间t₂：由 L=$\frac{{0+v}_{0}}{2}•\frac{{t}_{2}}{2}$   得 ${t}_{2}=\frac{4L}{{v}_{0}}$     
 故粒子从E点到F点所用的时间：t=t₁+t₂=$\frac{2\sqrt{3}πr+12L}{3{v}_{0}}$
答：（1）棒下落h的整个过程中，电阻上产生的电热是$\frac{BLmh}{2qR}{v}_{0}^{2}$-$\frac{{m}^{3}{v}_{0}^{6}}{16gBLR{q}^{3}}$．
（2）粒子从E点到F点所用的时间是$\frac{2\sqrt{3}πr+12L}{3{v}_{0}}$．

点评 本题是粒子在磁场中匀速圆周运动和电磁感应的综合．磁场中圆周运动常用方法是画轨迹，由几何知识求半径．