Question

5．据悉，我国将于2016年先后发射“天宫二号”空间实验室和“神舟十一号”载人飞船，二者在太空交会对接后，形成可有人长期值守的空间站．若空间站绕地球的运动为匀速圆周运动，对接后的总质量为m，距离地球中心的距离为r，地球的半径为R，地球表面处的重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转的影响，则以下说法中正确的是（　　）

• A． 对接前，“神舟十一号”欲追上“天宫二号”，必须在同一轨道上点火加速
• B． 对接后，空间站绕地球做圆周运动的角速度大小为$\frac{R}{r}$$\sqrt{\frac{R}{r}}$
• C． 对接后，空间站绕地球做匀速圆周运动的动能大小为$\frac{mg{r}^{2}}{2R}$
• D． 根据题意中的信息，可计算出地球的平均密度为$\frac{3g}{4πRG}$

Answer 1

分析 A、根据万有引力定律，结合离心运动的条件分析求解．
B、根据万有引力提供向心力结合重力等于万有引力即可求解
C、根据万有引力提供向心力表示出空间站的动能，结合黄金代换式得空间站的动能
D、先根据重力等于万有引力得到地球质量，再求地球密度

解答 解：A、若在同一轨道加速，则会做离心运动，不会相遇．故A错误
B、对接后，根据万有引力提供向心力有，$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}r$，解得：$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}_{\;}^{3}}}$…①
在地球表面物体的重力等于万有引力有$m′g=G\frac{Mm′}{{R}_{\;}^{2}}$，得$GM=g{R}_{\;}^{2}$…②
联立①②得，空间站绕地球做圆周运动的加速度大小$ω=\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{3}}}=\frac{R}{r}\sqrt{\frac{g}{r}}$，故B错误；
C、对接后，根据万有引力提供向心力有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，得$\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}=\frac{GMm}{2r}=\frac{g{R}_{\;}^{2}m}{2r}$，故C错误；
D、根据地球表面物体重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，解得$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$，地球的体积$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$，地球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3g}{4πRG}$，故D正确；
故选：D

点评 解决卫星运行规律问题的核心原理是万有引力提供向心力，通过选择不同的向心力公式，来研究不同的物理量与轨道半径的关系，万有引力等于所需要的向心力做匀速圆周运动，当两者不等时，出现离心或近心运动，