Question

如图所示，长为R的轻绳，上端固定在O点，下端连一小球．小球接近地面，处于静止状态．现给小球一沿水平方向的初速度v₀，小球开始在竖直平面内做圆周运动．设小球到达最高点时绳突然断开．已知小球最后落在离小球最初位置2R的地面上．求：
（1）小球在最高点的速度v；
（2）小球的初速度v₀；
（3）小球在最低点时球对绳的拉力；
（4）如果细绳转过60°角时突然断开，则小球上升到最高点时的速度多大？（小球的质量为m，重力加速度为g）．

Answer 1

分析：（1）小球离开最高点后做平抛运动，根据平抛运动的位移公式列式求解；
（2）小球从最低点到最高点过程，只有重力做功，根据机械能守恒定律列式求解；
（3）小球在最低点，受拉力和重力，合力提供向心力，根据牛顿第二定律和向心力公式列式求解；
（4）先对从最低点到转动60°过程运用动能定理列式求出绳子转动60°时的速度，最高点速度等于斜抛初速度的水平分量．

解答：解：（1）在水平方向有
2R=vt
在竖直方向有
2R=

1

2

gt²
解得v=

gR

即小球在最高点的速度v为

gR

．
（2）根据机械能守恒定律有

1

2

mv₀²-

1

2

mv²=mg2R
解得v₀=

5gR

即小球的初速度v_0为

5gR

．
（3）对小球分析有F-mg=m

v 2 0

R

解得F=6mg
由牛顿第三定律可知：
小球对绳子的拉力为6mg，方向向下．
（4）设绳断时的速度为v₁，
有mgR（1-cos60°）=

1

2

mv₀²-

1

2

mv₁²
设小球在最高点时的速度为v₂，
有v₂=v₁cos60°
v₂=

gR

即小球上升到最高点时的速度为

gR

．

点评：本题关键是对小球圆周运动过程多次运用机械能守恒定律列式分析，同时平抛运动可以沿水平和竖直方向正交分解成两个直线运动研究．