Question

如图所示，两绳系一个质量为m=0.1 kg的小球，上面绳长l=2 m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终拉紧？当角速度为3 rad/s时，上、下两绳拉力分别多大？

Answer 1

解析：当ω由0逐渐增大时，半径R增大，F₁增大，F₂=0；当ω增加为ω₁时半径R=l·sin30°=，BC恰好拉直，F₂仍为零，只有ω＞ω₁时才会有F₁、F₂都大于0，随ω继续增大（半径仍为R=不变），F₂增大，F₁减小.当ω增为ω₂时，AC仍拉直，但F₁已为零，故只要ω₁＜ω₂，F₁＞0，F₂＞0.

    解：两绳拉紧时，小球受力如图所示，当ω由0逐渐增大时，ω有临界值.

（1）设BC恰好拉直时（F₂=0），角速度为ω₁，则有

F₁cos30°=mg

F₁sin30°=mω₁²lsin30°

    代入数据解得ω₁=2.40 rad/s.

（2）当ω大到一定程度时，AC仍然拉直，但F₁已为零，设此时的角速度为ω₂，则有

F₂cos45°=mg

F₂sin45°=mω₂²lsin30°

    代入数据解得ω₂=3.16 rad/s.

    所以要两绳始终拉紧，ω必须满足2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s.

（3）当ω=3 rad/s时，F₁、F₂同时存在，所以

F₁sin30°+F₂sin45°=mω²Lsin30°        ①

F₁cos30°+F₂cos45°=mg               ②

    将数值代入式①②得，F₁=0.27 N，F₂=1.09 N.

答案：（1）2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s  （2）F₁=0.27 N，F₂=1.09 N